Bijekce
Bijekce (bijektivní zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení, isomorfismus) je zobrazení, které je zároveň prosté i na. Bijekce je tedy zároveň injektivní zobrazení a surjektivní zobrazení. Bijektivní zobrazení přiřazuje každému prvku z cílové množiny právě jeden prvek ze startovní množiny.
Vzorec
Protože bijekce je injekce zároveň se surjekcí, výpočet všech možných bijekcí se provede jednoduše jako
Příklady
Mějme zobrazení f: R → R definované takto: f(x) = 2x + 1. Toto zobrazení je bijektivní, jelikož pro každé reálné číslo y můžeme vyřešit y = 2x + 1 a tak získat právě jedno x = (y − 1)/2.
Na druhé straně, zobrazení g: R → R definované jako g(x) = x2 není bijektivní, a to ze dvou důvodů:
Zaprvé máme například g(1) = 1 = g(−1), takže g není injektivní; zadruhé neexistuje x tak, že x2 = −1, čili g není ani surjektivní. Kterákoli z těchto skutečností je dostatečná k ukázání, že g není bijektivní.
Bijektivní zobrazení je užitečné pro zavedení pojmu "spočetnost" množiny. Množina M je spočetná, pokud existuje bijektivní zobrazení mezi množinou M a množinou přirozených čísel. Populárněji lze říci, že spočetná množina obsahuje "stejný počet prvků" jako množina přirozených čísel. Lze snadno dokázat, že sudých čísel je "stejný počet" jako je všech přirozených čísel, i když to na první pohled vypadá nesmyslně. Stačí zavést bijektivní zobrazení n→2n, které přirozenému číslu přiřadí jeho dvojnásobek, respektive přiřadí sudému číslu jeho polovinu.
Související články
- Zobrazení na (surjekce)
- Prosté zobrazení (injekce)
- Spočetná množina
- Nespočetná množina
