Velká Fermatova věta

Velká Fermatova věta je jedna z nejslavnějších vět v historii matematiky. Zní takto:

Neexistují celá kladná čísla x, y, z a n, kde n > 2, pro která ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$.[1]

Pierre de Fermat

Větu si v 17. století francouzský matematik Pierre de Fermat poznamenal na okraj knihy v této podobě:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.[2]

(Je nemožné rozdělit krychli do dvou krychlí, či čtvrtou mocninu do dvou čtvrtých mocnin, nebo obecně jakoukoli mocninu vyšší než druhou do dvou stejných mocnin. Objevil jsem opravdu tak podivuhodný důkaz, že tento okraj je příliš malý, aby se do něj vešel.)

Uvedený důkaz ovšem nebyl v jeho pozůstalosti objeven – víme, že Fermat našel důkaz pro mocnitel čtyři, ale nejspíše nikoli pro jiné exponenty. Elementárně lze zjistit, že větu stačí dokázat „jen“ pro všechny prvočíselné mocnitele a čtyřku.

Během následujících staletí se podařilo dokázat některé další zvláštní případy věty (např. Leonhard Euler dokázal případ s mocnitelem 3), do poloviny 19. století se podařilo dokázat větu i pro mocnitele 5 a 7. V polovině 19. století dokázal německý matematik Ernst Kummer větu, je-li exponent tzv. regulární prvočíslo (nejnižší exponent, pro který nebyla věta dokázána tak stoupl na 37).

Definitivní důkaz pokrývající Fermatovo tvrzení v celé jeho obecnosti získal britský matematik Andrew Wiles až roku 1994 a jedná se o jeden z nejsložitějších důkazů v historii matematiky. Přestože sama Velká Fermatova věta nemá pro matematiku zásadní význam, důkaz, který Andrew Wiles vytvořil, je neocenitelný pro celý matematický svět. Kvůli důkazu muselo být sjednoceno mnoho matematických myšlenek a teorií a ještě více muselo být vytvořeno. A právě řada těchto postupů si uplatnění v moderní vědě našla a umožnila další výzkumy. Andrew Wiles dal také matematickému světu novou naději, když dokázal Tanijamovu–Šimurovu domněnku, která spojuje eliptické křivky a modulární formy, což jsou dvě odvětví matematiky s naprosto různými principy a přístupy k problémům, avšak při bližším pohledu vykazují mnohé spojitosti a společné vlastnosti. Tím, že Wiles dokázal, že modulární formy a eliptické křivky jsou ekvivalentní, a tedy dokázal i Tanijamovu–Šimurovu domněnku, dal matematikům šanci na splnění Langlandsova programu – tedy vytvoření velké sjednocené matematiky.

O Fermatově problému a jeho řešení byla do češtiny přeložena kniha Simona Singha Velká Fermatova věta.[3]