Eliptická křivka

Grupy eliptických křivek jsou aditivní grupy, to znamená, že základní operace je zde sčítání. Sčítání dvou bodů na eliptické křivce je definováno geometricky.

Opačný bod k bodu P[x;y] je bod −P[x;−y], je tedy zobrazen osovou souměrností podle osy x. Ke každému bodu P existuje bod −P.

Předpokládejme, že body P a Q jsou dva různé body na eliptické křivce a že −P ≠ Q. Abychom tyto dva body sečetli graficky, musíme jimi proložit přímku, která eliptickou křivku protne ještě v právě jednom bodě. Tento bod můžeme nazvat −R. Obraz tohoto bodu je hledaný bod R, kde platí ${\displaystyle R=P+Q}$.

Pokud by platilo, že ${\displaystyle -P=Q}$, pak můžeme říct, že bod Q je opačný k bodu P, tedy že mají stejnou souřadnici x. Sečteme-li tyto dva body (proložíme-li jimi přímku), nezískáme další průsečík s eliptickou křivkou. Tato přímka však eliptickou křivku protne v nekonečnu v pomyslném bodu O, můžeme tedy říct, že ${\displaystyle P+(-P)=O}$.

Pokud by nastala situace, že ${\displaystyle P=Q}$, pak bychom mohli říct, že chceme bod P zdvojnásobit. Tuto operaci učiníme tak, že uděláme tečnu k eliptické křivce s bodem dotyku P. Tato tečna protne eliptickou křivku v právě jednom bodě, který můžeme nazvat −R, jeho obraz R je bod, který hledáme.

Pokud by nastala situace, kdy ${\displaystyle P=Q}$ a ${\displaystyle y=0}$, jeho zdvojením tečna protne eliptickou křivku v nekonečnu v pomyslném bodě O, řekneme tedy, že ${\displaystyle 2P=O}$. Pokud bychom chtěli bod P ztrojnásobit, získáme opět bod P, neboť platí ${\displaystyle 3P=2P+P=O+P=P}$.

Další možností, jak sčítat body na eliptické křivce, je použití algebraických výpočtů. Tento způsob je nutný například u kryptografie na bázi eliptických křivek.

V první řadě musíme určit směrnici přímky, na které leží body P a Q. Tuto směrnici s vypočítáme jako ${\displaystyle {\textrm {tg}}\,\alpha }$, ${\displaystyle s={\frac {y_{p}-y_{q}}{x_{p}-x_{q}}}}$.

Díky Viète-Newtonovým vztahům můžeme říct, že pokud Q ≠ −P, pak:
${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$
${\displaystyle y_{R}=s(x_{P}-x_{R})-y_{P}}$

Pro zdvojnásobení bodu P, kde ${\displaystyle y_{P}\neq 0}$, platí, že:
${\displaystyle s={\frac {3x_{P}^{2}+a}{2y_{P}}}}$
${\displaystyle x_{R}=s^{2}-2x_{P}}$
${\displaystyle y_{R}=s(x_{P}-x_{R})-y_{P}}$

Sčítání bodů na eliptické křivce nad tělesem ${\displaystyle F_{p}}$ již nelze provádět efektivně graficky, používá se pouze algebraický postup.

Algebraický postup se od sčítání na eliptické křivce nad reálnými čísly příliš neliší, veškeré rovnice pouze budeme uvažovat nad tělesem ${\displaystyle F_{p}}$, tedy modulo p.

Pro ${\displaystyle -P\neq Q}$:
${\displaystyle s\equiv {\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}\mod p}$
${\displaystyle x_{R}\equiv s^{2}-x_{P}-x_{Q}\mod p}$
${\displaystyle y_{R}\equiv s(x_{P}-x_{R})-y_{P}\mod p}$

Pro 2P:
${\displaystyle s\equiv {\frac {3x_{P}^{2}+a}{2y_{P}}}\mod p}$
${\displaystyle x_{R}\equiv s^{2}-2x_{P}\mod p}$
${\displaystyle y_{R}\equiv s(x_{P}-x_{R})-y_{P}\mod p}$

Také opačné body se počítají modulo p, tedy pro P[x;y] máme −P[x;−y modulo p].