Věta o hybnosti proudu kapaliny

Zaveďme kartézský souřadný systém; osa x směřuje zleva doprava, osa y shora dolů. Potom výpočet provedeme ve složkách jednotlivých dílčích sil:

${\displaystyle F_{Rx}=F_{1}\cos \alpha -F_{2}\cos \beta +\rho Q(v_{1}\cos \alpha -v_{2}\cos \beta )}$

${\displaystyle F_{Ry}=F_{1}\sin \alpha -F_{2}\sin \beta +G+\rho Q(v_{1}\sin \alpha -v_{2}\sin \beta )}$

kde úhly ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$ jsou úhly, které svírá síla ${\displaystyle F_{1}}$ a ${\displaystyle F_{2}}$, resp. osa proudu v profilu 1 a 2 se souřadnicovými osami.

Celková síla ${\displaystyle F_{R}}$, kterou proud působí na své vedení, je pak

${\displaystyle F_{R}={\sqrt {F_{Rx}^{2}+F_{Ry}^{2}}}}$

a tato výsledná síla svírá s osou x souřadného systému úhel ${\displaystyle \epsilon }$, který snadno určíme ze vztahu

${\displaystyle \tan \epsilon ={F_{Ry} \over F_{Rx}}}$.

Pokud je tíha vody ${\displaystyle G}$ ve srovnání s ostatními silami malá, lze ji zanedbat. Pokud zkoumaný segment proudu leží v horizontální rovině, tíha kapaliny působí kolmo k této rovině i všem ostatním členům rovnice a ve výpočtu se tudíž neuplatňuje, a při návrhu konstrukce je nutné ji uvažovat samostatně.

V těchto případech se obvykle předpokládá symetrické obtékání tělesa či plochy a tíha kapaliny se zpravidla zanedbává. Protože při obtékání tělesa či plochy vznikají ztráty jednak třením paprsku na tělese či ploše, jednak ohybem proudnic a tvorbou vírů při nárazu paprsku na těleso, redukuje se teoretická hodnota výsledné síly korekčním součinitelem ${\displaystyle \psi \leq 1}$ .

Když paprsek osově dopadá na kužel o vrcholovém úhlu ${\displaystyle 2\delta }$ postavený vrcholem proti paprsku, paprsek se symetricky rozdělí po plášti tohoto kuželu. Protože vzdálenost vrcholu a odtokové hrany (či délka povrchové přímky) obvykle není velká, lze zhruba uvažovat ${\displaystyle v_{1}\approx v_{2}}$ a výsledná reakce tedy bude

obtékání kuželu

${\displaystyle F_{R}=\rho Q{\overrightarrow {v_{1}}}-\rho Q{\overrightarrow {v_{2}}}}$,

po převodu do kartézského souřadného systému s osou x rovnoběžnou s osou paprsku

${\displaystyle F_{R}=\rho Qv_{1}-\rho Qv_{1}\cos \delta =\rho Qv_{1}(1-\cos \delta )}$

a po zavedení výše zmíněného korekčního součinitele

${\displaystyle F_{R}=\psi \rho Qv_{1}(1-\cos \delta )}$.

V případě kruhové desky je ${\displaystyle \delta =90^{\circ }}$ a tedy ${\displaystyle \cos \delta =0}$. Při dostatečném rozměru desky (${\displaystyle D\geq (4-6)D_{0}}$ kde ${\displaystyle D}$ [m] je průměr desky a ${\displaystyle D_{0}}$ [m] průměr paprsku) a vzdálenosti ${\displaystyle l}$ [m] desky od výtokového otvoru ${\displaystyle l\geq 2D_{0}}$ lze uvažovat hodnotu redukčního součinitele ${\displaystyle \psi \approx 0,95}$.

Maximální možnou sílu ${\displaystyle F_{R}}$ dostaneme, pokud paprsek dopadá do středu plochy tvaru duté polokoule. Potom dojde k tomu, že vektor rychlosti ${\displaystyle {\overrightarrow {v_{2}}}}$ směřuje proti směru paprsku a tedy ${\displaystyle \delta =180^{\circ }}$ čili ${\displaystyle \cos \delta =-1}$ a výsledná síla bude

${\displaystyle F_{R}=2\psi \rho Qv_{1}}$

kde redukční součinitel ${\displaystyle \psi \approx 0,94}$.

Pokud se plocha, na kterou parsek dopadá, pohybuje ve směru vektoru rychlosti ${\displaystyle v_{1}}$ rychlostí ${\displaystyle u}$ [ms⁻¹], dopadá paprsek na tuto plochu relativní rychlostí ${\displaystyle (v_{1}-u)}$ [ms⁻¹], kterou použijeme pro výpočet síly ${\displaystyle F_{R}}$ namísto rychlosti paprsku ${\displaystyle v_{1}}$. Podobně i průtok ${\displaystyle Q}$ je nutné uvažovat jako průtok relativní ${\displaystyle S_{1}(v_{1}-u)}$ kde ${\displaystyle S_{1}}$ [m²] je průtočná plocha výtokového otvoru (resp. průtočná plocha v paprsku).

Pro soustavu lopatek nebo kanálů (např. oběžné kolo Peltonovy turbiny), otáčejících se kolem pevné osy obvodovou rychlostí ${\displaystyle u}$ [ms⁻¹] uvažujeme při výpočtu síly ${\displaystyle F_{R}}$ opět relativní rychlost ${\displaystyle (v_{1}-u)}$, avšak průtok bereme jako ${\displaystyle S_{1}v_{1}}$.