Výstřednost kuželosečky
Výstřednost neboli excentricita kuželosečky je nezáporné reálné číslo, které charakterizuje tvar dané kuželosečky. Používá se například v astronomii pro charakterizaci drah těles ve vesmíru jakožto excentricita dráhy. Existuje několik různých druhů excentricit. Nejčastěji se používá číselná výstřednost (excentricita),[1] také zvaná první excentricita nebo numerická excentricita. Lze si ji představit jako míru toho, jak moc se kuželosečka liší od kružnice. Konkrétně:
- Číselná excentricita kružnice je nulová.
- Číselná excentricita elipsy, která není kružnicí, je větší než nula, ale menší než 1.
- Číselná excentricita paraboly je 1.
- Číselná excentricita hyperboly je větší než 1.
Dvě kuželosečky jsou si podobné právě tehdy, pokud mají stejnou číselnou výstřednost. Definice číselné výstřednosti vychází z toho, že libovolnou kuželosečku vyjma kružnice lze definovat jako množinu (geometrické místo) bodů roviny, jejichž vzdálenosti k dané přímce (řídící přímce) a mimo tuto přímku ležícími bodu (ohnisku) jsou v konstantním poměru. A tento poměr se nazývá číselná výstřednost a běžně označuje jako e nebo ε.
Dále se používá lineární výstřednost či excentricita elipsy nebo hyperboly, označovaná jako c (někdy také f nebo e ). Ta se definuje jako vzdálenost mezi jejím středem a jedním ze dvou ohnisek. Tuto excentricitu lze definovat jako poměr lineární excentricity k hlavní poloose a : tj. (lineární excentricita pro paraboly není definována, jelikož nemají střed).
Kuželosečka | Rovnice | Číselná výstřednost ( e ) | Lineární výstřednost ( c ) |
---|---|---|---|
Kružnice | |||
Elipsa | nebo kde | ||
Parabola | - | ||
Hyperbola | nebo |
U elipsy s délkou hlavní poloosy a a vedlejší poloosy b
Jestliže je kuželosečka zadána obecnou kvadratickou rovnicí
následující vzorec udává výstřednost e pokud kuželosečka není parabola (která má výstřednost rovnou 1), není degenerovaná hyperbola nebo degenerovaná elipsa a není imaginární elipsa:[2]
kde , pokud je determinant matice 3 × 3
negativní a , pokud je tento determinant pozitivní.
Excentricita elipsy je ostře menší než 1. Pokud se kružnice (které mají výstřednost 0) počítají mezi elipsy, je výstřednost elipsy větší nebo rovna 0; pokud kružnice vyloučíme, pak je výstřednost elipsy ostře větší než 0.
Pro elipsy s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b dále definujeme další typy výstředností:
Název | Symbol | Závislost na a a b | Závislost na e |
---|---|---|---|
První výstřednost elipsy | |||
Druhá výstřednost elipsy | |||
Třetí výstřednost elipsy | |||
Úhlová výstřednost elipsy |
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eccentricity (mathematics) na anglické Wikipedii.
- EFFENBERGER, Věra. Kuželosečky. kdm.karlin.mff.cuni.cz [online]. kdm.karlin.mff.cuni.cz [cit. 2020-12-10]. Dostupné online.
- Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section", The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116-121.
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu excentricita na Wikimedia Commons