Systém iterovaných funkcí

Definujme systém iterovaných funkcí jako množinu konečně mnoha kontrakcí na úplném metrickém prostoru. Tedy

${\displaystyle \{f_{i}:X\to X|i=1,2,...,N\},N\in \mathbb {N} }$

je systém iterovaných funkcí, pokud f_i jsou kontrakce na úplném metrickém prostoru X.

Lze ukázat[1], že na prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ existuje pro každý systém iterovaných funkcí právě jedna množina S, která je vůči němu invariantní, tj.

${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S).}$

Tedy množina S je pevným bodem operátoru

${\displaystyle H(A)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A).}$

Z Banachovy věty o pevném bodě pak vyplývá jednoznačnost (a kompaktnost) množiny S. Tato věta nám také dává metodu konstrukce množiny S; plyne z ní totiž, že

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H^{\circ n}(A)=S}$

pro všechny neprázdné (a kompaktní) množiny A z X. To znamená, že můžeme postupovat takto: začneme s neprázdnou množinou A₀. Na tu aplikujeme postupně všechny funkce ze systému. Sjednocení takto vzniklých obrazů označíme A₁, a s ním provedeme znova totéž. Čím déle budeme tento postup opakovat (iterovat), tím lepší bude množina A_n aproximací množiny S.

Za f_i se často volí lineární nebo afinní transformace, tj. složení rotace, změny měřítka a v případě afinních transformací i posunutí. Tyto transformace se dají snadno znázornit ve 2D. Obecně ale postačí jakákoliv kontrakce, jako např. projektivní transformace, nebo i Möbiovy transformace komplexní proměnné.

Při konstrukci fraktálu lze použít výše nastíněný postup. Jinou metodou je tzv. chaos game. Při chaos game se zvolí počáteční bod (či obecně množina bodů nebo geometrický útvar), na který se iterativně aplikují náhodně vybrané funkce ze systému. Tím získáme množinu bodů z S.

Nevýhodou těchto konstrukcí je, že jsou globální - konstruují body z celého fraktálu. Při vykreslování malého výřezu fraktálu jich tedy většina padne mimo vykreslovanou oblast.

Podle definice systému iterovaných funkcí musí být všechny funkce kontrakcemi, ale prakticky stačí, i když je celý systém kontrahující jen v průměru.

• 
  Barnsleyho kapraď
• 
  Fraktál vykreslený za pomocí chaos game
• 
  Ukázka konstrukce fraktálu
• 
  Tatáž ukázka se znázorněním předchozích kroků

• PEITGEN, Heinz-Otto; JÜRGENS, Hartmut; SAUPE, Dietmar. Chaos and Fractals. New York: Springer-Verlag, 2004. ISBN 0-387-20229-3. (anglicky)

• Fraktál
• L-systém