Teplotní roztažnost

Koeficient úměrnosti ${\displaystyle \beta }$ se nazývá součinitel (koeficient) teplotní objemové roztažnosti.

Přesně (tj. aniž by bylo nutno předpokládat lineární závislost objemu na teplotě) je tato fyzikální veličina definována vztahem:

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{V_{0}}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}}$

Přitom je nutno pro přesnou definici uvést typ změny, tedy podmínky za kterých probíhá (např. při stálém tlaku, adiabaticky apod., důležitá může být i přítomnost elektromagnetického pole). V případech, kdy vlivy jiných veličin či okolností jsou zanedbatelné, nebo známé z kontextu, typ změny se neuvádí (běžné inženýrské aplikace u pevných látek a kapalin, probíhající při konstantním atmosférickém tlaku).

Doporučené značky: ${\displaystyle \alpha _{V}\,}$, ${\displaystyle \alpha \,}$, ${\displaystyle \gamma \,}$[1] V českých učebnicích a tabulkách hojně přetrvává (pro pevné látky a kapaliny) značení ${\displaystyle \beta \,}$ podle staré normy.[2] Značka ${\displaystyle \gamma \,}$ se zpravidla používá pro plyny.

Jednotkou je reciproký kelvin, K⁻¹ (dříve používaná jednotka °C⁻¹ již není přípustná).

Teplotní změny objemu mají za následek teplotní změny hustoty látky, neboť hmotnost tělesa ${\displaystyle m}$ se při změně teploty nemění.

Je-li při teplotě ${\displaystyle t_{0}}$ hustota tělesa ${\displaystyle \rho _{0}}$, pak pro hustotu látky při teplotě ${\displaystyle t}$ lze psát

${\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}={\frac {m}{V_{0}(1+\beta \Delta t)}}\approx \rho _{0}(1-\beta \Delta t)}$

Hodnota součinitele teplotní objemové roztažnosti závisí nejen na druhu látky, ale také na teplotě. Pro většinu látek je kladný, tzn. že objem tělesa se se vzrůstající teplotou zvětšuje.

Zajímavou (a z hlediska existence života důležitou) odchylkou je objemová roztažnost vody. Při zvyšování teploty od 0 °C do 3,98 °C se objem vody zmenšuje a její hustota se zvyšuje. Hustota vody je největší při teplotě 3,98 °C,[3] při dalším zvyšování teploty dochází ke snižování hustoty vody (a tedy ke zvětšování objemu).

Při ochlazování vody k bodu mrazu bude klesat ke dnu nejdříve voda o teplotě 3,98 °C (protože má vyšší hustotu), chladnější voda pak bude zůstávat u hladiny. Při dosažení bodu mrazu pak voda na hladině zamrzne a vytvoří ledový příkrov, pod nímž se nadále může udržovat voda kapalná a udržovat tak podmínky pro život i v zimě.

Byly objeveny i jiné materiály s anomální roztažností, např. trifluorid skandia ScF₃.[4] Mají význam v technických aplikacích, kde se využívají ke kompenzování roztažnosti jiných materiálů.

Koeficient úměrnosti ${\displaystyle \alpha }$ se nazývá součinitel (koeficient) teplotní délkové roztažnosti.

Přesně (tj. aniž by bylo nutno předpokládat lineární závislost délky na teplotě) je tato fyzikální veličina definována vztahem:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{l_{0}}}{\frac {\mathrm {d} l}{\mathrm {d} t}}}$

Doporučené značky: ${\displaystyle \alpha _{l}\,}$, či pouze ${\displaystyle \alpha \,}$, nehrozí-li záměna se součinitelem objemové roztažnosti)[1]

Jednotkou je reciproký kelvin, K⁻¹ (dříve používanou jednotku °C⁻¹ již norma ČSN EN ISO 80000-5 pro veličiny a jednotky v termodynamice jako přípustnou neuvádí).

Hodnota součinitele teplotní délkové roztažnosti závisí nejen na druhu látky, ale také na teplotě. Pro většinu pevných látek je ${\displaystyle \alpha >0}$, tzn. že délka tělesa se se vzrůstající teplotou zvětšuje.

V širším teplotním rozmezí je délková roztažnost lépe popsána vzorcem

${\displaystyle l=l_{0}(1+\alpha _{1}\Delta t+\alpha _{2}\Delta t^{2})}$,

v němž je délková roztažnost popsána dvěma součiniteli ${\displaystyle \alpha _{1}}$ (s jednotkou K⁻¹) a ${\displaystyle \alpha _{2}}$ (s jednotkou K⁻²), přičemž obvykle platí, že ${\displaystyle \alpha _{2}<<\alpha _{1}}$. Kvadratický člen se tak uplatňuje pouze u vyšších teplotních rozdílů, protože součinitel ${\displaystyle \alpha _{2}}$ bývá malý.

V praxi se často postupuje tak, že se zavádí průměrný součinitel ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$, který umožňuje lineární interpolaci teplotní roztažnosti v širším rozmezí teplot, tzn.

${\displaystyle l=l_{0}(1+{\overline {\alpha }}\Delta t)}$

Pro teploty, které jsou blízké teplotě ${\displaystyle t_{0}}$ je rozdíl mezi ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ malý. Na širším rozmezí teplot však průměrný součinitel teplotní roztažnosti popisuje skutečnou závislost lépe než lineární vztah.

Uvažujeme-li těleso ve tvaru krychle, které má při teplotě ${\displaystyle t_{0}}$ délku hrany ${\displaystyle l_{0}}$, pak objem tohoto tělesa při teplotě ${\displaystyle t_{0}}$ je ${\displaystyle V_{0}=l_{0}^{3}}$. Při teplotě ${\displaystyle t}$ plyne ze vztahů pro délkovou roztažnost

${\displaystyle V=l^{3}=\left[l_{0}(1+\alpha _{1}t)\right]\left[l_{0}(1+\alpha _{2}t)\right]\left[l_{0}(1+\alpha _{3}t)\right]=l_{0}^{3}(1+\alpha _{1}t)(1+\alpha _{2}t)(1+\alpha _{3}t)=V_{0}(1+\alpha _{1}t)(1+\alpha _{2}t)(1+\alpha _{3}t)}$,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ jsou koeficienty teplotní délkové roztažnosti v různých směrech a ${\displaystyle V_{0}}$ označuje objem tělesa při teplotě ${\displaystyle t_{0}}$.

Pro anizotropní těleso mohou být součinitele délkové roztažnosti obecně různé. Pro izotropní těleso jsou však všechny součinitele stejné, tzn. ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}}$, a předchozí vztah lze upravit

${\displaystyle V={\left[l_{0}(1+\alpha t)\right]}^{3}=V_{0}(1+3\alpha t+3\alpha ^{2}t^{2}+\alpha ^{3}t^{3})}$

Protože ${\displaystyle \alpha }$ je malé, lze vyšší mocniny zanedbat. Položíme-li ${\displaystyle \beta \approx 3\alpha }$, pak dostaneme

${\displaystyle V=V_{0}(1+\beta t)}$

Pro izotropní materiály tedy platí, že je hodnota koeficientu ${\displaystyle \alpha }$ rovna přibližně třetině koeficientu teplotní objemové roztažnosti ${\displaystyle \beta }$, neboť

${\displaystyle \beta \approx 3\alpha }$.