Skóringový model

Skóringový model bývá založen na databázi existujících klientů, kterým kdy byl poskytnut úvěr, společně s informací, kterým z nich se podařilo úvěr splatit. Pro jednoduchost nazýváme dobrým takového klienta, který úvěr splatil včas a za dohodnutých podmínek, a špatným takového klienta, který některému ze svých závazků nedostál. Nesplacení bývá označováno též jako default.

Předpokládejme, že pro každého klienta v databázi máme k dispozici informaci, zda úvěr splatil a dále informace v podobě sady x, kde x je vektor binárních proměnných (tj. proměnných s hodnotou 0 nebo 1), které jsou rozděleny do významových skupin (např. POHLAVÍ, VĚK, PŘÍJEM,...). Každá skupina je tvořena několika kategoriemi (např. skupinu POHLAVÍ tvoří dvě kategorie - MUŽ a ŽENA). Dále předpokládáme, že každý klient patří do právě jedné kategorie každé skupiny. Potom každá binární proměnná ${\displaystyle x_{j}^{i}}$ ze sady x indikuje, zda daný klient patří do příslušné j-té kategorie i-té skupiny (${\displaystyle x_{j}^{i}=1}$) či nikoliv (${\displaystyle x_{j}^{i}=0}$).

Označme dále Z jako množinu všech dvojic indexů (i,j), kde i značí skupinu a j její kategorii.

odds (česky též šance) je charakteristika, která udává poměr počtu dobrých klientů ku počtu špatných klientů v celé databázi:

${\displaystyle odds={\frac {|G|}{|B|}}.}$

Pro jednotlivé znaky j jednotlivých skupin i se definují proměnné ${\displaystyle odds_{j}^{i}}$, tzv. šance znaku, jako poměry příslušných počtů dobrých a špatných klientů v jednotlivých kategoriích:

${\displaystyle odds_{j}^{i}={\frac {|G_{j}^{i}|}{|B_{j}^{i}|}}.}$

Nakonec se zavádí proměnná odds ratio. Označme ${\displaystyle OR_{j}^{i}}$ podíl ${\displaystyle odds_{j}^{i}}$ příslušné kategorie a odds celku:

${\displaystyle OR_{j}^{i}={\frac {odds_{j}^{i}}{odds}}.}$

Proměnná odds ratio potom vyjadřuje relativní šanci klienta v dané kategorii úvěr splatit. Hodnota menší než 1 značí, že šance splacení je podprůměrná, vysoké hodnoty naopak ukazují na nadprůměrnou šanci.

Podstatou modelů kreditního rizika je pro každého potenciálního klienta s charakteristikou x odhadnout hodnotu teoretické charakteristiky odds(x).

Přirozeně bychom hodnotu odds(x) odhadovali jako poměr počtu dobrých klientů s charakteristikou x ku počtu špatných klientů s charakteristikou x:

${\displaystyle odds({\boldsymbol {x}})={\frac {|G_{\boldsymbol {x}}|}{|B_{\boldsymbol {x}}|}}.}$

Protože však hodnoty ${\displaystyle |G_{\boldsymbol {x}}|}$ a ${\displaystyle |B_{\boldsymbol {x}}|}$ závisí na konkrétní kombinaci hodnot sady x a těchto kombinací je obecně velmi mnoho, není v praxi vhodné funkci odds(x) odhadovat tímto vztahem. Proto tento vztah dále upravujeme a za předpokladu nezávislosti klientů v datovém vzorku převedeme na tvar

${\displaystyle odds({\boldsymbol {x}})=odds\prod _{(i,j)\in Z}(OR_{j}^{i})^{x_{j}^{i}},}$

tedy jako součin celkového odds a příslušných ${\displaystyle OR_{j}^{i}}$ těch kategorií, do kterých potenciální klient spadá. Přiřazením různých vah činitelům v předchozím vzorci můžeme konstruovat různě obecné modely.

Independence model je nejjednodušším z trojice představovaných modelů ohodnocení kreditního rizika. Skóringová funkce vychází pouze z vypočítaných hodnot proměnných odds a ${\displaystyle OR_{j}^{i}}$:

${\displaystyle S^{IM}({\boldsymbol {x}})=odds\prod _{(i,j)\in Z}(OR_{j}^{i})^{x_{j}^{i}},}$

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\big (}x_{j}^{i}:(i,j)\in Z{\big )}}$ je sada nezávisle proměnných, která charakterizuje hodnoceného klienta.

Odtud vidíme, že skóringová funkce ${\displaystyle S^{IM}({\boldsymbol {x}})}$ je tvořena součinem odds a ${\displaystyle OR_{j}^{i}}$ právě těch kategorií, ve kterých se příslušný klient nachází. Tento přístup modelování skóringové funkce se často používá právě pro svou jednoduchost. Jeho podstatnou nevýhodou však je onen zmíněný v praxi často nedosažitelný předpoklad nezávislosti a to, že přikládá všem skupinám a kategoriím stejnou váhu a tím snižuje svou vypovídací schopnost.

V praxi se někdy jako skóre používá logaritmus uvedeného vztahu:

${\displaystyle \ln {\big (}S^{IM}({\boldsymbol {x}}){\big )}=\ln(odds)+\sum _{(i,j)\in Z}x_{j}^{i}\ln(OR_{j}^{i}).}$

Tento vztah potom odpovídá ln(odds(x)), neboli tzv. logitu, jenž je základem logistické regrese.

Dalším možným přístupem k modelování kreditního rizika pomocí skóringové funkce je WOE model. WOE je zkratka z anglického weight of evidence a značí, že v modelu přiřadíme každé skupině jinou váhu podle toho, jaký je její statistický vliv na fakt, jestli klient úvěr splatí či nikoliv. Takový model potom můžeme vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle S^{WOE}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\lambda }})=odds\prod _{(i,j)\in Z}(OR_{j}^{i})^{\lambda ^{i}x_{j}^{i}},}$

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\big (}x_{j}^{i}:(i,j)\in Z{\big )}}$ je opět sada nezávisle proměnných a ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}={\big (}\lambda ^{i}:i\in \{1\dots s\}{\big )}}$ je vektor vah jednotlivých skupin.

Takto vytvořená skóringová funkce je opět odhadem funkce odds(x). Vektor parametrů ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ je možno odhadovat metodou logistické regrese.

Tento model je výpočetně náročnější, avšak zvláště pro větší databáze poskytuje větší přesnost a částečně tak řeší nedostatky Independence modelu. V prezentaci Rhino Risk se tento model doporučuje pro databáze s více než 150 případy nesplacení.

Plný logistický model přiřazuje specifickou váhu každé jednotlivé kategorii. Takto získáváme skóringovou funkci:

${\displaystyle S^{PLM}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\lambda }})=odds\prod _{(i,j)\in Z}(OR_{j}^{i})^{\lambda _{j}^{i}x_{j}^{i}},}$

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\big (}x_{j}^{i}:(i,j)\in Z{\big )}}$ je sada nezávisle proměnných a ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}={\big (}\lambda _{j}^{i}:(i,j)\in Z{\big )}}$ vektor vah jednotlivých kategorií.

Podobně jako u WOE modelu odhadneme vektor parametrů ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ metodou logistické regrese.

Tento model je nejpřesnější z uvedené trojice modelů, ale také výpočetně nejnáročnější. V praxi se většinou používá pro velmi rozsáhlé databáze. V prezentaci Rhino Risk se tento model doporučuje pro databáze s více než 1200 případy nesplacení.

Schopnost diverzifikace, tedy míra oddělení dobrých klientů od špatných, je jednou z nejdůležitějších zkoumaných vlastností skóringového modelu.

V ideálním případě bychom totiž chtěli nalézt takový model, kde by existovala taková skóringová hranice ${\displaystyle s_{0}}$, pro kterou by všichni špatní klienti v databázi byli ohodnoceni skóre nižším než ${\displaystyle s_{0}}$ a naopak všichni dobří klienti skóre větším než ${\displaystyle s_{0}}$. V takovém modelu bychom potom mohli podle dosaženého skóre poměrně dobře rozhodnout o tom, zda se klient zdá dobrý či nikoliv.

V praxi však zpravidla nenajdeme takovou skóringovou funkci, která by neomylně vystihovala kvalitu všech klientů v databázi. Budou se zde jistě vyskytovat takoví klienti, kteří mají sice nízké skóre, ale přesto se jim podařilo splatit, a naopak takoví, kteří přes své vysoké skóre nezaplatili. Skóringová funkce nám potom tedy dobré a špatné klienty rozdělí jen přibližně.

Pro názornost si představme, že jsou všichni klienti seřazeni vzestupně podle přiděleného skóre. V ideálním modelu bychom měli řadu samých špatných klientů a po překročení hranice ${\displaystyle s_{0}}$ řadu samých dobrých klientů. Oproti tomu v reálném modelu dostáváme řadu klientů, kde by sice na začátku byli častěji špatní klienti, ale mezi nimi by se vyskytovali i nějací dobří. Dobrých klientů by postupně přibývalo, až ke konci bychom měli řadu dobrých klientů, mezi kterými by bylo i několik špatných.

A tedy podle toho, jak dobře uspořádání klientů podle skóre odděluje dobré klienty od špatných, posuzujeme kvalitu modelu z hlediska diverzifikační schopnosti.

Pro grafické znázornění schopnosti diverzifikace používáme např. Lorenzovu křivku, pro číselnou kvantifikaci potom Giniho koeficient.