Fyzikální rozměr veličiny

Fyzikální rozměr veličiny nebo zkráceně rozměr veličiny je formální vyjádření závislosti měřené fyzikální veličiny na veličinách základních, odpovídajících základním jednotkám. Zpravidla se jedná o součin celočíselných mocnin rozměrů základních veličin, v případě některých veličinových soustav mohou být mocniny polocelé (např. soustava CGS).

Rozměr veličiny X se korektně značí jako dim X, pro zjednodušení se však často používá stejný zápis jako pro jednotky, tedy značka veličiny v hranatých závorkách: [X].

V každé fyzikální rovnici musí být rozměry veličin na obou stranách stejné. Toho lze využít k rozměrové kontrole správnosti složitějších fyzikálních rovnic.

Stanovení rozměru odvozené veličiny a rozměrová rovnice

Rozměr odvozené veličiny se stanoví z definičního vztahu dané veličiny.

Veličiny koherentních soustav jsou zpravidla definovány jako součiny a podíly základních veličin. V definičním vztahu se nahradí značky veličin symboly rozměrů a ty se rozepíší do součinu mocnin rozměrů základních veličin (majících obvykle specifické značky). Výsledný vztah se pak převede do tvaru součinu mocnin rozměrů základních veličin podle zásad pro úpravu součinů a podílů mocnin. Pokud v definičním vztahu figuruje číselný koeficient, nahradí se (stejně jako každá bezrozměrná veličina) jednotkou, efektivně se tedy vynechá. Sčítat a odečítat lze pouze veličiny stejného rozměru - proto je přirozené, že každý z členů musí mít stejný rozměr (a pro definici rozměru odvozené veličiny postačuje ponechání pouze jediného členu). Derivace v definičním vztahu se bere jako naznačené dělení infinitezimálních přírůstků – nahradí se proto prostým podílem, integrál jako nekonečný součet součinů integrované veličiny a infinitezimálního přírůstku integrační proměnné – nahradí se tedy součinem obou rozměrů. Vyskytuje-li se v definičním vztahu exponenciální, logaritmická nebo goniometrická funkce, její hodnota se bere jako bezrozměrná; taktéž její argument musí být bezrozměrný.

Ke každé veličinové rovnici lze napsat podle stejných zásad odpovídající rovnici rozměrovou a rozepsat ji až na vztahy rozměrů základních veličin. Rozměrovou rovnici lze využít k rozměrové kontrole správnosti původní rovnice - obě strany rovnice musí mít stejný rozměr, jakož i všechny členy naznačených součtů a rozdílů musí mít shodný rozměr. Protože argumenty exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí musí být bezrozměrné, přibude ke každé takové funkci ještě kontrolní rozměrová rovnice pro její argument.

Přehled symbolů fyzikálních rozměrů soustavy SI

Základní veličina	Symbol rozměru	Jednotka	Značka
délka	L	metr	m
hmotnost	M	kilogram	kg
čas	T	sekunda	s
elektrický proud	I	ampér	A
teplota	Θ	kelvin	K
látkové množství	N	mol	mol
svítivost	J	kandela	cd

Historická poznámka

Do roku 1995 měly svůj zvlášní nezávislý rozměr i tzv. doplňkové veličiny a jednotky, ač měly charakter bezrozměrných odvozených veličin a jednotek.[1][2] V současnosti mají jako bezrozměrné odvozené veličiny a jednotky rozměr 1.

Dříve tedy tabulka rozměrů obsahovala ještě:

Doplňková veličina	Symbol rozměru	Jednotka	Značka
rovinný úhel	α	radián	rad
prostorový úhel	Ω	steradián	sr

Tyto rozměry vystupovaly i v rozměrech veličin odvozených z veličin doplňkových; např. korektní rozměr úhlové rychlosti byl do roku 1995 T⁻¹α, rozměr osvětlení (a jednotky lux) byl L⁻²JΩ apod.

Příklady

Příklad stanovení rozměru veličiny

Jako příklad použijeme veličinu práce W, která je definována jako součin síly F a dráhy s po níž působila, tedy

W = F·s.

Rozměr veličiny W, který označíme [W], dostaneme následujícím způsobem: Protože dráha s představuje základní veličinu (délku), dosadíme za s příslušný symbol, tedy L. Síla však není základní veličinou, proto bude

[W] = [F]·L.

V dalším kroku použijeme definici síly

F = m·a,

kde m je hmotnost tělesa (tedy základní veličina, dosadíme M) a a je zrychlení, které mu síla F uděluje; pro rozměr [F] získáme vztah

[F] = M·[a].

Zpracujeme zrychlení podobným způsobem

a = dv / dt,

kde v je rychlost a t je čas, a získáme

[a] = [v] / T = [v]·T⁻¹.

Konečně

v = ds / dt,

z čehož dostaneme

[v] = L / T = LT⁻¹.

Zpětným dosazováním do předchozích rovnic a úpravami nakonec získáme fyzikální rozměr veličiny práce

[W] = L²MT⁻².

Zpracujeme-li obdobným způsobem rovnici pro výpočet kinetické energie E_k

E_k = ½ m·v²,

zjistíme, že rozměr této veličiny je

[E_k] = L²MT⁻².

Je tedy stejný jako rozměr práce. Tato skutečnost nepřekvapuje, protože kinetická energie má stejnou jednotku jako práce, a jednotkou je dán i rozměr. Není však pravidlem, že veličiny stejného rozměru musí mít stejnou jednotku - stejný rozměr má i moment síly, je to však veličina s jiným fyzikálním charakterem, proto má i jinou jednotku - newton metr.

Příklady rozměrové kontroly veličinových rovnic

$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q$ (Gaussův zákon elektrostatiky)
[D]·[A] = [Q]

l. s. = L⁻²TI·L² = TI

p. s. = TI
$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p$ (vyjádření objemové derivace vnitřní energie pomocí tlaku a teploty)
[U]/[V] = [T]·([p]/[T]) = [p]

l. s. = L²MT⁻² / L³ = L⁻¹MT⁻²

(prostřední člen po vykrácení rozměru [T] totožný s pravou stranou)

p. s. = L⁻¹MT⁻²
$y=r\mathrm {e} ^{-bt}\sin(\omega t+\varphi )$ $\text{[math]}$ (výchylka tlumených kmitů)
1. [y] = [r]
  L = L
2. [b]·[t] = 1 (rozměrová rovnice pro argument exponenciální funkce)
  T⁻¹·T = 1
3. [ω]·[t] = [φ] = 1 (rozměrová rovnice pro argument goniometrické funkce)
  T⁻¹·T = 1 = 1

Reference

Rozhodnutí č. 8 20. Generální konference pro míry a váhy, 1995. Dostupné online (anglicky)
Rozhodnutí č. 12 11. Generální konference pro míry a váhy, 1960. Dostupné online (anglicky)

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Rozhodnutí č. 8 20. Generální konference pro míry a váhy, 1995. Dostupné online (anglicky)

[2] Rozhodnutí č. 12 11. Generální konference pro míry a váhy, 1960. Dostupné online (anglicky)