Fyzikální rozměr veličiny
Fyzikální rozměr veličiny nebo zkráceně rozměr veličiny je formální vyjádření závislosti měřené fyzikální veličiny na veličinách základních, odpovídajících základním jednotkám. Zpravidla se jedná o součin celočíselných mocnin rozměrů základních veličin, v případě některých veličinových soustav mohou být mocniny polocelé (např. soustava CGS).
Rozměr veličiny X se korektně značí jako dim X, pro zjednodušení se však často používá stejný zápis jako pro jednotky, tedy značka veličiny v hranatých závorkách: [X].
V každé fyzikální rovnici musí být rozměry veličin na obou stranách stejné. Toho lze využít k rozměrové kontrole správnosti složitějších fyzikálních rovnic.
Stanovení rozměru odvozené veličiny a rozměrová rovnice
Rozměr odvozené veličiny se stanoví z definičního vztahu dané veličiny.
Veličiny koherentních soustav jsou zpravidla definovány jako součiny a podíly základních veličin. V definičním vztahu se nahradí značky veličin symboly rozměrů a ty se rozepíší do součinu mocnin rozměrů základních veličin (majících obvykle specifické značky). Výsledný vztah se pak převede do tvaru součinu mocnin rozměrů základních veličin podle zásad pro úpravu součinů a podílů mocnin. Pokud v definičním vztahu figuruje číselný koeficient, nahradí se (stejně jako každá bezrozměrná veličina) jednotkou, efektivně se tedy vynechá. Sčítat a odečítat lze pouze veličiny stejného rozměru - proto je přirozené, že každý z členů musí mít stejný rozměr (a pro definici rozměru odvozené veličiny postačuje ponechání pouze jediného členu). Derivace v definičním vztahu se bere jako naznačené dělení infinitezimálních přírůstků – nahradí se proto prostým podílem, integrál jako nekonečný součet součinů integrované veličiny a infinitezimálního přírůstku integrační proměnné – nahradí se tedy součinem obou rozměrů. Vyskytuje-li se v definičním vztahu exponenciální, logaritmická nebo goniometrická funkce, její hodnota se bere jako bezrozměrná; taktéž její argument musí být bezrozměrný.
Ke každé veličinové rovnici lze napsat podle stejných zásad odpovídající rovnici rozměrovou a rozepsat ji až na vztahy rozměrů základních veličin. Rozměrovou rovnici lze využít k rozměrové kontrole správnosti původní rovnice - obě strany rovnice musí mít stejný rozměr, jakož i všechny členy naznačených součtů a rozdílů musí mít shodný rozměr. Protože argumenty exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí musí být bezrozměrné, přibude ke každé takové funkci ještě kontrolní rozměrová rovnice pro její argument.
Přehled symbolů fyzikálních rozměrů soustavy SI
Základní veličina | Symbol rozměru | Jednotka | Značka |
---|---|---|---|
délka | L | metr | m |
hmotnost | M | kilogram | kg |
čas | T | sekunda | s |
elektrický proud | I | ampér | A |
teplota | Θ | kelvin | K |
látkové množství | N | mol | mol |
svítivost | J | kandela | cd |
Historická poznámka
Do roku 1995 měly svůj zvlášní nezávislý rozměr i tzv. doplňkové veličiny a jednotky, ač měly charakter bezrozměrných odvozených veličin a jednotek.[1][2] V současnosti mají jako bezrozměrné odvozené veličiny a jednotky rozměr 1.
Dříve tedy tabulka rozměrů obsahovala ještě:
Doplňková veličina | Symbol rozměru | Jednotka | Značka |
---|---|---|---|
rovinný úhel | α | radián | rad |
prostorový úhel | Ω | steradián | sr |
Tyto rozměry vystupovaly i v rozměrech veličin odvozených z veličin doplňkových; např. korektní rozměr úhlové rychlosti byl do roku 1995 T−1α, rozměr osvětlení (a jednotky lux) byl L−2JΩ apod.
Příklady
Příklad stanovení rozměru veličiny
Jako příklad použijeme veličinu práce W, která je definována jako součin síly F a dráhy s po níž působila, tedy
- W = F·s.
Rozměr veličiny W, který označíme [W], dostaneme následujícím způsobem: Protože dráha s představuje základní veličinu (délku), dosadíme za s příslušný symbol, tedy L. Síla však není základní veličinou, proto bude
- [W] = [F]·L.
V dalším kroku použijeme definici síly
- F = m·a,
kde m je hmotnost tělesa (tedy základní veličina, dosadíme M) a a je zrychlení, které mu síla F uděluje; pro rozměr [F] získáme vztah
- [F] = M·[a].
Zpracujeme zrychlení podobným způsobem
- a = dv / dt,
kde v je rychlost a t je čas, a získáme
- [a] = [v] / T = [v]·T−1.
Konečně
- v = ds / dt,
z čehož dostaneme
- [v] = L / T = LT−1.
Zpětným dosazováním do předchozích rovnic a úpravami nakonec získáme fyzikální rozměr veličiny práce
- [W] = L2MT−2.
Zpracujeme-li obdobným způsobem rovnici pro výpočet kinetické energie Ek
- Ek = ½ m·v2,
zjistíme, že rozměr této veličiny je
- [Ek] = L2MT−2.
Je tedy stejný jako rozměr práce. Tato skutečnost nepřekvapuje, protože kinetická energie má stejnou jednotku jako práce, a jednotkou je dán i rozměr. Není však pravidlem, že veličiny stejného rozměru musí mít stejnou jednotku - stejný rozměr má i moment síly, je to však veličina s jiným fyzikálním charakterem, proto má i jinou jednotku - newton metr.
Příklady rozměrové kontroly veličinových rovnic
- (Gaussův zákon elektrostatiky)
- [D]·[A] = [Q]
- l. s. = L−2TI·L2 = TI
- p. s. = TI
- (vyjádření objemové derivace vnitřní energie pomocí tlaku a teploty)
- [U]/[V] = [T]·([p]/[T]) = [p]
- l. s. = L2MT−2 / L3 = L−1MT−2
- (prostřední člen po vykrácení rozměru [T] totožný s pravou stranou)
- p. s. = L−1MT−2
- (výchylka tlumených kmitů)
- [y] = [r]
- L = L
- [b]·[t] = 1 (rozměrová rovnice pro argument exponenciální funkce)
- T−1·T = 1
- [ω]·[t] = [φ] = 1 (rozměrová rovnice pro argument goniometrické funkce)
- T−1·T = 1 = 1
- [y] = [r]
Reference
- Rozhodnutí č. 8 20. Generální konference pro míry a váhy, 1995. Dostupné online (anglicky)
- Rozhodnutí č. 12 11. Generální konference pro míry a váhy, 1960. Dostupné online (anglicky)