Rieszova věta o reprezentaci

Pro každý spojitý lineární funkcionál ${\displaystyle F:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {C} }$ na Hilbertově prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ existuje jediný vektor ${\displaystyle y\in {\mathcal {H}}}$ takový, že:

${\displaystyle Fx=\langle x,y\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}}$.

A navíc:

${\displaystyle \|F\|=\|y\|}$

V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.

Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:

${\displaystyle F(x+z)=\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle ,F(\lambda x)=\langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle }$

Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.

${\displaystyle |Fx|=|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}$

Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.

Pro ${\displaystyle F=0}$ je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že ${\displaystyle F\neq 0}$. ${\displaystyle \operatorname {Ker} F}$ je tedy uzavřený vlastní podprostor ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, existuje tedy nenulový vektor ${\displaystyle z\bot \operatorname {Ker} F}$.

Označme ${\displaystyle Gx=\langle x,{\frac {\overline {Fz}}{\|z\|^{2}}}z\rangle }$ a ukažme, že ${\displaystyle F=G}$.

Pro ${\displaystyle x\in \operatorname {Ker} F}$ platí: ${\displaystyle Gx=0=Fx}$.

Jelikož ${\displaystyle z}$ je libovolný a platí ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {Ker} F\oplus \operatorname {Span} \{z\}}$, stačí již jen ukázat, že:

${\displaystyle Gz=\langle z,{\frac {\overline {Fz}}{\|z\|^{2}}}z\rangle ={\frac {Fz}{\|z\|^{2}}}\langle z,z\rangle =Fz}$

Můžeme ztotožnit ${\displaystyle y={\frac {\overline {Fz}}{\|z\|^{2}}}z}$, takže existence je dokázána.

Jednoznačnost dokážeme sporem:

Předpokládejme, že existují dva vektory ${\displaystyle y_{1}\neq y_{2}}$, takové že: ${\displaystyle Fx=\langle x,y_{1}\rangle =\langle x,y_{2}\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}}$

Z toho plyne: ${\displaystyle \langle x,y_{1}-y_{2}\rangle =0\ \forall x\in {\mathcal {H}}\Rightarrow (y_{1}-y_{2})\bot {\mathcal {H}}\Rightarrow y_{1}-y_{2}=0\Rightarrow y_{1}=y_{2}}$, což je spor s předpokladem.

Zbývá dokázat dovětek:

Vezměme vektor ${\displaystyle x}$, takový, že ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$, pak platí:

${\displaystyle |Fx|=\langle x,y\rangle \leq \|x\|\|y\|\leq \|y\|\Rightarrow \|F\|\leq \|y\|}$

Zároveň však: ${\displaystyle |F({\frac {y}{\|y\|}})|=|\langle {\frac {y}{\|y\|}},y\rangle |=\|y\|}$

Z čehož vyvodíme ${\displaystyle \|F\|=\|y\|}$. ∎