Rekurzivně spočetný jazyk

Máme-li jazyky L₁ a L₂, které jsou rekurzivně spočetné, existují i TS M₁ a M₂, které tyto jazyky přijímají. Sestrojíme-li sjednocení jazyků L₁ a L₂, vznikne nám nový jazyk L_s. Pro tento nový jazyk musí opět existovat TS, který ho bude přijímat. Nejprve zkusíme použít stejný algoritmus, jaký je použit u rekurzivních jazyků. Sestrojíme TS M_s!, kterým se pokusíme přijmout sjednocený jazyk L_s:

1. Simuluj TS M₁ pro slovo w. Pokud TS M₁ slovo přijme, přijmi slovo. Pokud odmítne, pokračuj dále.
2. Simuluj TS M₂ pro slovo w. Pokud TS M₂ slovo přijme, přijmi slovo. Pokud odmítne, odmítni slovo w.

Nyní vyzkoušíme, jak TS M_s! funguje. Zkusíme do něj vložit slovo ze sjednocení jazyků L₁ a L₂, přičemž slovo w spadá do jazyka L₂, ale nespadá do jazyka L₁ – TS M₁ se dokonce pro slovo w zacyklí. Postupujme podle algoritmu TS M_s!. Jako první nasimulujeme TS M₁ se vstupem w. Jenže M₁ se zacyklí a tak se nikdy nedostane ke slovu TS M₂, který teprve slovo w přijímá. Jak vidíme, tento TS M_s! nepřijímá sjednocení dvou rekurzivně spočetných jazyků. Musíme zkusit jinou myšlenku.

Podle předpokladu platí, že alespoň jeden TS M₁ nebo M₂ musí pro slovo w z L_s zastavit a přijmout slovo. My nevíme, který z nich to je a nemůžeme to zkusit sériově, protože by se první TS mohl zacyklit. Namísto toho můžeme zkoušet oba TS M₁ i M₂ paralelně. Náš nový TS M_s bude simulovat oba TS zároveň a bude se mezi nimi přepínat. Nejdříve provede jeden krok výpočtu M₁ a poté jeden krok výpočtu M₂. A tak dále, dokud buď alespoň jeden TS nepřijme slovo nebo dokud oba neodmítnou. Pokud jeden odmítne a druhý cyklí, cyklí i náš TS M_s, což nevadí, protože dané slovo zřejmě nebude z jazyka L_s. Popis stroje:

1. Simuluj jeden krok výpočtu TS M₁. Pokud M₁ došel do přijímající stavu, přijmi slovo w.
2. Simuluj jeden krok výpočtu TS M₂. Pokud M₂ došel do přijímající stavu, přijmi slovo w.
3. Pokud oba TS odmítají w, odmítni w.
4. Vrať se zpět k prvnímu bodu.

Máme-li jazyky L₁ a L₂, které jsou rekurzivně spočetné, existují i TS M₁ a M₂, které tyto jazyky přijímají. Sestrojíme-li průnik jazyků L₁ a L₂, vznikne nám nový jazyk L_p. Pro tento nový jazyk musí opět existovat TS, který ho bude přijímat. Použijeme stejnou myšlenku, jakou jsme použili u sjednocení. TS M_p, který bude přijímat L_p, bude vypadat takto:

1. Simuluj jeden krok výpočtu TS M₁. Pokud M₁ došel do odmítajícího stavu, odmítni slovo w.
2. Simuluj jeden krok výpočtu TS M₂. Pokud M₂ došel do odmítajícího stavu, odmítni slovo w.
3. Pokud oba TS přijímají w, přijmi w.
4. Vrať se zpět k prvnímu bodu.

Jednoduchý sériový algoritmus nemůžeme použít proto, že by se první TS mohl opět zacyklit, přičemž druhý TS by mohl slovo zamítnout, čímž by bylo jasné, že slovo do jazyka nepatří.

Máme-li rekurzivně spočetný jazyk (dále RSJ) L a jeho komplement L', který je také RSJ, pak jazyky L a L' jsou rekurzivní. Důkaz: pokud je L RSJ, pak existuje TS M, který tento jazyk přijímá. To znamená, že přijme každé slovo z L. Dále máme TS M', které přijme každé slovo z L'. To znamená, že neexistuje slovo, pro které by se TS M nebo M' zacyklil. Jsme tedy schopni sestavit takový TS R, který přijme všechna slova z L a odmítne všechna slova z L' nebo naopak. TS R tudíž rozhoduje jazyk L a ten tak musí být rekurzivní.

Komplementem čistě RSJ (tedy jazyka, který je RSJ, ale není rekurzivní) je vždy jazyk, který není rekurzivně spočetný. Vezměme pro příklad jazyk HALT, který je čistě RSJ, ale jeho komplement (NotHALT) není RSJ. To vyplývá z definice NotHALT: HALT obsahuje dvojice TS:slovo takové, že TS pro dané slovo zastaví. NotHALT tedy obsahuje dvojice TS:slovo takové, kdy daný TS nezastaví pro slovo, že se zacyklí. Protože nejsme schopni identifikovat cyklus, nejsme schopni sestavit TS, který by jazyk NotHALT přijímal. Obecně: pokud máme jazyk L, který je čistě RSJ, pak jeho komplement L' musí obsahovat takové slovo, pro něž se TS M' zacyklí a tudíž tento TS M' nemůže přijímat jazyk L'.