Rayleighův rozptyl

Při odvození účinného průřezu Rayleighova rozptylu v rámci klasické fyziky je možné vyjít z rovnic popisujících lineární harmonický oscilátor s tlumením v poli elektromagnetické vlny

${\displaystyle m({\ddot {\vec {x}}}+\omega _{0}^{2}{\vec {x}})=e{\vec {E}}_{0}{e}^{i\omega t}-m\gamma {\dot {\vec {x}}}.}$

Tato rovnice v rámci klasické fyziky popisuje kmity vázaných elektronů v atomu. Úhlová frekvence ${\displaystyle \omega _{0}}$ je frekvence vlastních kmitů, vyjadřující frekvenci čarových přechodů vázané soustavy elektronů a atomového jádra. Zrychlení vynucených kmitů je dáno partikulárním řešení této diferenciální rovnice

${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}={\frac {-(e\omega ^{2}/m){\vec {E}}_{0}{e}^{i\omega t}}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}+i\gamma \omega }}.}$

V důsledku pohybu nabité částice se zrychlením dochází k vyzařování elektromagnetického záření (vyzařování je důvodem, proč je oscilátor tlumený). Vyzařovaný výkon souvisí se zrychlením podle vztahu

${\displaystyle P={\frac {2e^{2}{\ddot {x}}^{2}}{3c^{3}}}.}$

Středováním přes periodu je možné získat výraz pro střední vyzářený výkon ve tvaru

${\displaystyle \langle P(\omega )\rangle ={\frac {e^{4}\omega ^{4}}{3m^{2}c^{3}}}{\frac {E_{0}^{2}}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+\gamma ^{2}\omega ^{2}}}}$

a podělením intenzitou záření účinný průřez

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {8\pi e^{4}\omega ^{4}}{3m^{2}c^{4}}}{\frac {1}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+\gamma ^{2}\omega ^{2}}}.}$

Tento výraz pro frekvence blízké středu spektrální čáry ${\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$ vede k přirozenému rozšíření spektrální čáry. Pro zanedbatelný útlum dává pro volný elektron (${\displaystyle \omega _{0}=0}$) účinný průřez Thomsonova rozptylu. Konečně, pro malé frekvence ${\displaystyle \omega \ll \omega _{0}}$ získáváme účinný průřez Rayleighova rozptylu jako

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {e^{2}}{mc^{2}}}\right)^{2}{\frac {\omega ^{4}}{\omega _{0}^{4}}}\sim {\frac {1}{\lambda ^{4}}}.}$

Je patrné, že účinný průřez je nepřímo úměrný čtvrté mocnině vlnové délky, s rostoucí vlnovou délkou tedy rychle klesá.

Pro výpočet účinného průřezu Rayleighova rozptylu v rámci (nerelativistické) kvantové teorie budeme sledovat interakci systému vázaných elektronů (v atomu či molekule) s polem záření. Tuto interakci je možné popsat pomocí interakčního hamiltoniánu jako

${\displaystyle H_{i}=H_{i1}+H_{i2}=-{\frac {i\hbar e}{mc}}\nabla \cdot \sum _{\omega }(q_{\omega }{\vec {A}}_{\omega }+q_{\omega }^{\ast }{\vec {A}}_{\omega }^{\ast })+{\frac {e^{2}}{2mc^{2}}}\sum _{\omega ,\omega '}(q_{\omega }q_{\omega '}{\vec {A}}_{\omega }{\vec {A}}_{\omega '}+q_{\omega }q_{\omega '}^{\ast }{\vec {A}}_{\omega }{\vec {A}}_{\omega '}^{\ast }+q_{\omega }^{\ast }q_{\omega '}A_{\omega }^{\ast }A_{\omega '}+q_{\omega }^{\ast }q_{\omega '}^{\ast }A_{\omega }^{\ast }A_{\omega '}^{\ast }),}$

kde ${\displaystyle {\vec {A}}}$ je vektorový potenciál rozvinutý v řadu

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)=\sum \left[q_{\omega }(t){\vec {A}}_{\omega }({\vec {x}})+q_{\omega }^{\ast }(t){\vec {A}}_{\omega }^{\ast }({\vec {x}})\right],}$

jejíž příslušné koeficienty rozvoje jsou dány

${\displaystyle {\vec {A}}_{\omega }({\vec {x}})={\sqrt {\frac {4\pi c^{2}}{L^{3}}}}\,{\vec {a}}_{\omega }\,\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}),}$

operátory ${\displaystyle q_{\omega }(t)}$ a ${\displaystyle q_{\omega }^{\ast }(t)}$ jsou kreační a anihilační operátor a jednotkový vektor ${\displaystyle {\vec {a}}_{\omega }}$, který je kolmý ke směru šíření vlny, určuje polarizaci.

Pro odvození Rayleighova rozptylu je nutné započítat první člen interakčního hamiltoniánu v druhém řádu poruchové teorie a druhý člen interakčního hamiltoniánu v prvním řádu poruchové teorie. Ve výsledku tedy musíme spočítat maticový element

${\displaystyle \langle n|H_{s}|n\rangle =\sum _{n''}{\frac {\langle n|H_{i1}|n''\rangle \langle n''|H_{i1}|n\rangle }{{\tilde {E}}_{n}-{\tilde {E}}_{n''}}}+\langle n|H_{i2}|n\rangle ,}$

kde ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}}$ je energie stavu ${\displaystyle |n\rangle }$ elektronového obalu a pole fotonů. Po dosazení má interakční hamiltonián tvar

${\displaystyle \langle n|H_{s}|n\rangle ={\frac {2\pi e^{2}\hbar }{L^{3}m^{2}}}\left[m\langle n|{\vec {a}}_{\omega }{\vec {a}}_{\omega }|n\rangle +\sum _{n''}{\frac {\langle n|{\vec {p}}{\vec {a}}_{\omega }|n''\rangle \langle n''|{\vec {p}}{\vec {a}}_{\omega }|n\rangle }{E_{n}-E_{n''}+\hbar \omega }}+\sum _{n''}{\frac {\langle n|{\vec {p}}{\vec {a}}_{\omega }|n''\rangle \langle n''|{\vec {p}}{\vec {a}}_{\omega }|n\rangle }{E_{n}-E_{n''}-\hbar \omega }}\right].}$

Příslušný účinný průřez má tvar

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle n|H_{s}|n\rangle |^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho (E)}{\mathrm {d} \Omega }}{\frac {L^{3}}{c}}.}$

Při jeho výpočtu z předchozího maticového elementu využijeme dipólové aproximace, což ve svém výsledku vede k diferenciálnímu účinnému průřezu ve tvaru

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {e^{4}}{m^{2}c^{4}}}\cos ^{2}\phi \left[1+\sum _{n''}f_{n''n}{\frac {\omega _{n''n}^{2}}{\omega ^{2}-\omega _{n''n}^{2}}}\right]^{2},}$

kde ${\displaystyle f_{n''n}}$ je síla oscilátoru a ${\displaystyle \omega _{n''n}}$ je úhlová frekvence přechodu. Pro frekvence záření mnohem menší než frekvence jednotlivých přechodů dostáváme po integraci přes úhly vztah odpovídající účinnému průřezu v klasickém případě

${\displaystyle \sigma ={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {e^{2}}{mc^{2}}}\right)^{2}\left(\sum _{n''}f_{n''n}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{n''n}^{2}}}\right)^{2}.}$

• A. Einstein, Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des kritischen Zustandes, Ann. Phys., 14, 368
• H. Griem, Principles of Plasma Spectroscopy, Cambridge University Press, Cambridge 2005
• D. Mihalas, Stellar atmosphres, Freeman & Co., San Francisco 1978.
• A. G. Rojo, P. R. Berman, Rayleigh scattering revisited: From gases to crystals, Am. J. Phys., 78, 94

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Rayleighův rozptyl na Wikimedia Commons