Deformace

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí ${\displaystyle u_{i}}$ se souřadnicemi ${\displaystyle x_{j}}$, tzn. jsou malé také parciální derivace ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}}$. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen ${\displaystyle \left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)}$ malý ve srovnání s členy ${\displaystyle {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}}$ a ${\displaystyle {\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}}$ a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací

${\displaystyle e_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}\right)}$

Pro malé deformace tedy platí

${\displaystyle \mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2e_{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}\,}$

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

${\displaystyle {\overline {e}}_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial y_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial y_{k}}}\right)}$

a platí

${\displaystyle \mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2{\overline {e}}_{lk}\mathrm {d} y_{l}\mathrm {d} y_{k}}$

Pro malé deformace jsou velikosti posunů ${\displaystyle \mathrm {d} x_{i}}$ v nedeformovaném stavu a jim odpovídající ${\displaystyle \mathrm {d} y_{j}}$ v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací ${\displaystyle e_{ij}}$ a ${\displaystyle {\overline {e}}_{ij}}$ můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru ${\displaystyle e_{ij}}$ na izotropní část a deviátor

${\displaystyle e_{ij}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}+\left(e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}\right)}$,

kde ${\displaystyle e_{I}}$ je stopa tenzoru malých deformací a ${\displaystyle \delta _{ij}}$ je Kroneckerovo delta. Označuje se

${\displaystyle e_{ij}^{(s)}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}}$

jako izotropní část a

${\displaystyle e_{ij}^{(d)}=e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}}$

jako deviátor deformací.

Význam diagonálních složek tenzoru ${\displaystyle e_{ij}}$ lze určit následující úvahou.

Výraz ${\displaystyle \mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{1}}$ je čtverec délky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení ${\displaystyle l_{0}^{2}}$. Podobně pro výraz ${\displaystyle \mathrm {d} y_{i}\mathrm {d} y_{i}}$, který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení ${\displaystyle l^{2}}$. Potom platí

${\displaystyle {\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}=2e_{11}}$

Pro malé deformace je ${\displaystyle l_{0}{\dot {=}}l}$, takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu ${\displaystyle {\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {(l-l_{0})(l+l_{0})}{l_{0}^{2}}}{\dot {=}}{\frac {(l-l_{0})2l_{0}}{l_{0}^{2}}}=2{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}$, čímž získáme

${\displaystyle e_{11}{\dot {=}}{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}$

Složka tenzoru ${\displaystyle e_{11}}$ malých deformací tedy odpovídá relativní změně délky elementu, který byl původně rovnoběžný s osou ${\displaystyle x_{1}}$ kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky ${\displaystyle e_{22}}$ a ${\displaystyle e_{33}}$ přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami ${\displaystyle x_{2}}$ a ${\displaystyle x_{3}}$.

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v rovině dané kartézskými osami ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky ${\displaystyle e_{11},e_{22},e_{12}=e_{21}}$. Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. ${\displaystyle e_{11}=e_{22}=0,e_{12}\neq 0}$, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou ${\displaystyle x_{1}}$, tzn. lze jej před deformací popsat vektorem ${\displaystyle (\mathrm {d} x_{1},0)}$, lze po deformaci popsat vektorem ${\displaystyle \left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)}$, kde ${\displaystyle u_{2}}$ je složka vektoru posunutí podél osy ${\displaystyle x_{2}}$. Pro úhel ${\displaystyle \alpha _{1}}$ mezi vektory ${\displaystyle (\mathrm {d} x_{1},0)}$ a ${\displaystyle \left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)}$ platí

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha _{1}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}}$

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou ${\displaystyle x_{2}}$, který je možné před deformací popsat vektorem ${\displaystyle (0,\mathrm {d} x_{2})}$, určit složky tohoto elementu po deformaci jako ${\displaystyle \left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)}$. Pro úhel ${\displaystyle \alpha _{2}}$ mezi vektory ${\displaystyle (0,\mathrm {d} x_{2})}$ a ${\displaystyle \left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)}$ platí

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha _{2}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}}$

Pro malé deformace lze použít aproximaci ${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha _{i}\approx \alpha _{i}}$, což umožňuje psát

${\displaystyle 2e_{12}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$

Smíšená složka tenzoru deformace ${\displaystyle e_{12}}$ tedy odpovídá polovině úhlu ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$, o který se při deformaci změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami ${\displaystyle x_{1}}$ a ${\displaystyle x_{2}}$. Úhel ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$ se nazývá úhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. Složka ${\displaystyle e_{12}}$ má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku ${\displaystyle e_{13}}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku ${\displaystyle e_{23}}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Uvažujme v diferenciálním okolí bodu, ve kterém známe složky ${\displaystyle e_{ij}}$, kvádr, jehož hrany mají před deformací délky ${\displaystyle l_{01},l_{02},l_{03}}$, přičemž tyto hrany jsou rovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}}$. Při vhodné volbě souřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze čistý tah nebo čistý tlak), platí

${\displaystyle {\frac {l_{i}-l_{0i}}{l_{0i}}}=e_{ii}}$

pro ${\displaystyle i=1,2,3}$.

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako ${\displaystyle l_{i}=l_{0i}+l_{0i}e_{ii}}$. Pro objem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme

${\displaystyle V=l_{1}l_{2}l_{3}=(l_{01}+l_{01}e_{11})(l_{02}+l_{02}e_{22})(l_{03}+l_{03}e_{33})=l_{01}l_{02}l_{03}+l_{01}l_{02}l_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33})=V_{0}+V_{0}e_{I}}$

což bývá obvykle zapisováno jako

${\displaystyle e_{I}={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}}$,

kde ${\displaystyle V_{0}}$ je objem tělesa před deformací a ${\displaystyle V}$ je objem tělesa po deformaci. Stopa ${\displaystyle e_{I}}$ tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy objemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části ${\displaystyle e_{ij}}$ je stejná jako stopa celého tenzoru ${\displaystyle e_{ij}}$, odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru ${\displaystyle \operatorname {Tr} \,e^{(d)}}$ je nulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy tvarovou deformaci.