Singularita (matematika)

Má-li f(z₀) v bodě z₀ singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu z₀, na němž je f holomorfní, pak se z₀ nazývá izolovaná singularita.

Má-li f v z₀ singularitu a existuje-li limita

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)<\infty }$

potom je tato singularita odstranitelná.

Přitom platí, že

• Dodefinujeme-li f v z₀ limitou výše, je v z₀ holomorfní.
• Existuje Taylorova řada kolem bodu z₀ stejnoměrně konvergentní po nejbližší další singularitu.

Má-li f v z₀ singularitu a existuje-li limita

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=\infty ,}$

platí, že existuje (přirozené) číslo n takové, že

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}\left(z-z_{0}\right)^{n}f(z)<\infty .}$

Potom f má v z₀ pól n-tého řádu.

Pól n-tého řádu jednoduše znamená, že funkce f se v z₀ chová stejně jako funkce ${\displaystyle (z-z_{0})^{-n}}$. Pokud je v z₀ pól, dá se kolem z₀ f rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě n členů ve své hlavní části.

Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý pól.

Má-li f v z₀ singularitu a limita

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)}$

neexistuje, potom má f v z₀ podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem z₀ nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{z^{2}}}}}$

v bodě z = 0.