Lorenzův atraktor

Lorenzův atraktor, zavedený Edwardem Lorenzem v roce 1963, je nelineární trojdimenzionální deterministický dynamický systém odvozený ze zjednodušených rovnic vynucené konvekce v atmosféře. Pro jistou množinu parametrů systém vykazuje chaotické chování a zobrazuje to, co se dnes nazývá podivný atraktor; to bylo dokázáno W. Tuckerem v roce 2001. Podivný atraktor v tomto případě je fraktál s Hausdorffovou dimenzí mezi 2 a 3. Grassberger (1983) odhadl Hausdorffovu dimenzi na ${\displaystyle 2{,}06\pm 0{,}01}$ a korelační dimenzi na ${\displaystyle 2{,}05\pm 0{,}01}$.

Graf trajektorie Lorenzova systému ve stavovém prostoru pro hodnoty ${\displaystyle r=28,\sigma =10,b=8/3}$

Lorenzův atraktor

Systém vzniká v laserech, dynamech, a specifických vodních kolech.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\sigma (y-x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=x(r-z)-y}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=xy-bz}$

kde ${\displaystyle \sigma }$ je Prandtlovo číslo a ${\displaystyle r}$ je Rayleighovo číslo (redukované). ${\displaystyle \sigma ,r,b>0}$, ale obvykle ${\displaystyle \sigma =10}$, ${\displaystyle b=8/3}$ a ${\displaystyle r}$ se mění. Systém vykazuje chaotické chování pro ${\displaystyle r=28}$, ale zobrazuje zamotané periodické orbity pro další hodnoty ${\displaystyle r}$. Například pro ${\displaystyle r=99{,}96}$ vzniká ${\displaystyle T(3,2)}$ prstencové klubko.