Lieova závorka

Lieova závorka je operátor, který přiřazuje kterýmkoliv dvěma vektorovým polím X a Y na hladké varietě M, třetí vektorové pole označované [X, Y]. Lieova závorka vystihuje nekomutativitu toků generovanými těmito poli.

Lieova závorka [X, Y] je derivace vektorového pole Y podél toku vytvořeného polem X. Zobecněním Lieovy závorky je derivace, která umožňuje diferenciaci jakéhokoli tenzorového pole podél toku vytvořeného X. Lieova závorka [X, Y] se rovná Lieově derivaci vektoru Y (která je tenzorovým polem) podél X, a je označována:

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{X}Y}$ čteme: Lieova derivace Y podél X.

Každé vektorové pole X na hladké varietě M může být považováno za diferenciální operátor působící na hladké funkce na M. Ve skutečnosti, každé hladké vektorové pole X se stává derivací hladkých funkcí C^∞(M) pokud definujeme X(f) jako element C^∞(M)

Lieova závorka [X, Y] dvou hladkých vektorových polí X a Y je hladké vektorové pole [X, Y], takové že platí:

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ pro každou }}f\in C^{\infty }(M).}$