Bezkontextová gramatika

Jednoduchá bezkontextová gramatika je dána přepisovacím pravidlem:

S → aSb | ab (stejně jako A → β)

kde znak | separuje více možností řetězců (w) z terminálů a neterminálů, které znamenají to samé jako zápis:

S → aSb

S → ab

kde a, b označuje terminály, S je startovní symbol (neterminál). Tato gramatika generuje jazyk aⁿbⁿ, kde ${\displaystyle n\geq 1}$. Tento jazyk není regulární. Speciální symbol ε označuje prázdný řetězec. Pokud změníme pravidlo na S → aSb | ε získáme gramatiku, která generuje jazyk aⁿbⁿ, kde ${\displaystyle n\geq 0}$. Tato přepisovací pravidlo obsahuje i přepis na prázdný řetězec, který původní gramatika neobsahuje.

Tato bezkontextová gramatika generuje aritmetické výrazy s proměnnými x, y, z:

S → x | y | z | S + S | S - S | S * S | S/S | (S)

S touto gramatikou dokážeme například generovat řetězec "( x + y ) * x - z * y / ( x + x )". Tento řetězec získáme následujícím postupem. Startovací symbol S přepíšeme podle páté transformace [S → S - S]. Následně se S na pravé straně přepíší podle šesté a sedmé transformace na řetězec "S * S - S / S", pak použijeme poslední transformaci s uzávorkováním, tak získáme "( S ) * S - S / ( S )". Poté uzávorkovaná S přepíšeme podle transformace [S → S + S]. Takto dostanem řetězec neterminálů "( S + S ) * S - S * S / ( S + S )", z kterého výsledný řetězec "( x + y ) * x - z * y / ( x + x )" získáme převedením neterminálů S na terminály x, y, z.

Bezkontextová gramatika, která se skládá ze slov obsahující znaky a, b v různém počtu a pořadí.

S → U | V

U → TaU | TaT

V → TbV | TbT

T → aTbT | bTaT | ε

Neterminál T dovoluje generovat všechny řetězce se stejným počtem áček a béček. Neterminál U generuje řetězec s větším počtem áček než béček. Poslední neterminál V generuje řetězec s větším počtem béček než áček.

Dalším příkladem je bezkontextová gramatika, která generuje jazyk {bⁿa^m2*bⁿ, kde ${\displaystyle m\geq 0}$, ${\displaystyle n\geq 0}$}. Toto není regulární jazyk, ale je bezkontextový a může být generován bezkontextovou gramatikou:

S → bSbb | A

A → aA | ε

Je několik způsobů jak získat potřebný řetězec. Jedním ze způsobů jak jej získat je derivování od startovního symbolu pomocí dané gramatiky. Nejjednodušší cestou je výpis mezikroků od startovního symbolu až po výsledný řetězec a k tomu výpis použitých přepisovacích pravidel. Pokud použijeme strategii, ve které vždy nejprve nahradíme nejlevější neterminál, pak pro kontextovou gramatiku je seznam pravidel použité gramatiky dostačující. Toto nazýváme „levou derivací“ řetězce. Například pokud vezmeme tuto gramatiku:

(1) S → S + S

(2) S → 1

(3) S → a

a řetězec "1 + 1 + a", pak levá derivace tohoto řetězce bude posloupnost použitých pravidel [ (1), (1), (2), (2), (3) ]. Analogicky u pravé derivace se vždy nejprve nahradí nejpravější neterminál. V tomto případě bude seznam pravidel v následujícím pořadí [ (1), (3), (1), (2), (2)].

Rozdíl mezi levou a pravou derivací je důležitý, protože ve většině parsovacích transformací vstupu je definován kus kódu pro každé pravidlo gramatiky. Proto je důležité při parsování se rozhodnout, zdali zvolit levou nebo pravou derivaci, protože ve stejném pořadí se budou provádět části programu. Podobně jako LL syntaktický analyzátor a LR syntaktický analyzátor.

Pomocí derivace uložíme hierarchickou strukturu v řetězci, který je derivován. Jako příklad poslouží řetězec "1 + 1 + a", který je derivován podle levé derivace:

S → S + S (1)

   → S + S + S (1)

   → 1 + S + S (2)

   → 1 + 1 + S (2)

   → 1 + 1 + a (3)

řetězcová struktura může vypadat následovně:

{ { { 1 }_S + { 1 }_S }_S + { a }_S }_S

kde { ... }_S rozpoznaný jako podřetězec S. Tato hierarchie může být také znázorněna jako strom:

           S
          /|\
         / | \
        /  |  \
       S  '+'  S
      /|\      |
     / | \     |
    S '+' S   'a'
    |     |
   '1'   '1'

Tento strom se nazývá konkrétní syntaktický strom (nebo také abstraktní syntaktický strom) řetězce. V tomto případě levá a pravá derivace definuje stejný syntaktický strom. U tohoto řetězce můžeme pomocí levé derivace získat jinou stromovou strukturu a to záměnou prováděných přepisovacích pravidel:

S → S + S (1)

   → 1 + S (2)

   → 1 + S + S (1)

   → 1 + 1 + S (2)

   → 1 + 1 + a (3)

ta definuje následný syntaktický strom:

           S 
          /|\
         / | \
        /  |  \
       S  '+'  S
       |      /|\
       |     / | \
      '1'   S '+' S
            |     |
           '1'   'a'

Pokud pro určitý řetězec v jazyce gramatiky existuje více než jeden parsovací strom, potom se tato gramatika nazývá nejednoznačná gramatika. Některé gramatiky se dají těžko rozebírat, protože syntaktický analyzátor neví, které z přepisovacích pravidel má použít. Obvykle mnohoznačnost je charakteristická pro gramatiku, což neplatí pro jazyk. Jednoznačná gramatika může také generovat stejný bezkontextový jazyk jako nejednoznačná gramatika. Nicméně existují jazyky, které nelze vygenerovat žádnou jednoznačnou gramatikou, ty pak nazýváme podstatně nejednoznačné.

• Regulární a bezkontextové jazyky II. Archivováno 31. 5. 2020 na Wayback Machine