Laplaceův–Rungeův–Lenzův vektor

Vypočtěme

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times L-mk{\frac {d}{dt}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$

Ovšem ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ odpovídá síle, tedy

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}=-k{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\times \mathbf {L} -mk{\frac {\mathbf {v} }{r}}+mk{\frac {\mathbf {r} v_{r}}{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}=-k{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\times (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )-k{\frac {\mathbf {p} }{r}}+mk{\frac {\mathbf {r} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{r^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}=-k{\frac {1}{r^{3}}}(\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} r^{2})-k{\frac {\mathbf {p} }{r}}+k{\frac {\mathbf {r} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} )}{r^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}=0}$

Vektor se nemění s časem, proto je integrálem pohybu.

Uvažujme částici, která přilátá z nekonečna tak, že by bez přítomnosti pole minula rozptylové centrum ve vzdálenosti ${\displaystyle a}$ (impaktní parametr). Jeli pole přítomno, je částice odchýlena. Víme přitom, že velikost a směr LRL vektoru zůstává konstantní, tedy

${\displaystyle \mathbf {p_{1}} \times \mathbf {L} -mk{\frac {\mathbf {r_{1}} }{r_{1}}}=\mathbf {p_{2}} \times \mathbf {L} -mk{\frac {\mathbf {r_{2}} }{r_{2}}}}$

Kde levá strana je velikost vektoru daleko před tím, než došlo k interakci, zatímco pravá naopak daleko po ní. Označíme-li

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {r} _{1}}{r_{1}}}\quad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {r} _{2}}{r_{2}}}}$,

pak vzhledem k tomu že daleko od místa interakce letí částice v podstatě ve směru jejího polohového vektoru, lze psát:

${\displaystyle -p\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {L} -mk\mathbf {e} _{1}=p\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {L} -mk\mathbf {e} _{2}}$

Kde ${\displaystyle p}$ je velikost hybnosti v nekonečnu. Nebo po úpravě

${\displaystyle p(\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2})\times \mathbf {L} =mk(\mathbf {e} _{2}-\mathbf {e} _{1})}$

Tuto vektorovou rovnici umocníme (vektory ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ a ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ jsou kolmé na ${\displaystyle \mathbf {L} }$):

${\displaystyle p^{2}L^{2}(2+2\cos \alpha )=m^{2}k^{2}(2-2\cos \alpha )}$

Kde ${\displaystyle \alpha }$ je úhel mezi vektorama ${\displaystyle e_{1}}$ a ${\displaystyle e_{2}}$, Nás ovšem spíše zajímá vychýlení částice, tedy úhel ${\displaystyle \phi =\pi -\alpha }$. Dostáváme pak:

${\displaystyle p^{2}L^{2}(2-2\cos \phi )=m^{2}k^{2}(2+2\cos \phi )}$

Po úpravě:

${\displaystyle \tan {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \phi }{1+\cos \phi }}}={\frac {mk}{pL}}}$

Což po dosazení za velikost momentu hybnosti ${\displaystyle L=pa}$ dává vztah

${\displaystyle \tan {\frac {\phi }{2}}={\frac {mk}{ap^{2}}}={\frac {k}{2aE}}}$

Známe tedy závislost odchýlení částice na impaktním parametru ${\displaystyle a}$. Nyní již snadno vypočítáme diferenciální účinný průřez:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {2\pi ada}{2\pi \sin \phi d\phi }}={\frac {a}{\sin a}}|{\frac {da}{d\phi }}|}$

Přitom dle odvozeného vztahu pro odchýlení částice platí

${\displaystyle {\frac {da}{d\phi }}={\frac {-k}{4E}}{\frac {1}{\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}}}}$

Po dosazení získáváme Rutherfordovu formuli pro rozptyl.

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {k^{2}}{16E^{2}}}{\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\phi }{2}}}}}$

Uvažujme, že při tomto pohybu je v určitém místě hybnost kolmá na průvodič. V tomto bodě má pak průvodič částice stejný směr jako LRL vektor. Protože je LRL vektor konstantní v čase, je zřejmé, že má vždy tento směr.

Dále promítněme LRL vektor do směru průvodiče, tedy:

${\displaystyle A_{r}=\mathbf {A} \cdot {\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {r} }{r}}\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-mk{\frac {\mathbf {r} }{r}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {1}{r}}\mathbf {L} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )-mk={\frac {L^{2}}{r}}-mk}$

Označme dále úhlovou odchylku průvodiče od směru LRL vektoru jako ${\displaystyle \phi }$, potom platí také:

${\displaystyle A_{r}=A\cos \phi }$

Porovnáním těchto dvou výrazů dostaneme

${\displaystyle r={\frac {L^{2}}{mk+A\cos \phi }}={\frac {\frac {L^{2}}{mk}}{1+{\frac {A}{mk}}\cos \phi }}}$.

Což je samozřejmě rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Velikost LRL vektoru je tedy úměrná numerické excentricitě, speciálně, pokud je ${\displaystyle \mathbf {A} =0}$, pak je pohyb kruhový.