Lagrangeova interpolace

Konstrukce Lagrangeova interpolačního polynomu:[1]

Známe-li ${\displaystyle (n+1)}$ uzlových bodů ${\displaystyle x_{0}\cdots x_{n}}$ a jim odpovídající funkční hodnoty ${\displaystyle f(x_{0})\cdots f(x_{n})}$, sestavíme Lagrangeův interpolační polynom ${\displaystyle L_{n}(x)}$ n-tého řádu následovně:

${\displaystyle L_{n}(x)=P_{0}(x)+\cdots +P_{n}(x)=f(x_{0})\ell _{0}(x)+\cdots +f(x_{n})\ell _{n}(x)}$,

kde ${\displaystyle P_{i}(x)}$ jsou pomocné polynomy a pro ${\displaystyle \ell _{i}(x)}$ platí:

${\displaystyle \ell _{i}(x_{j})={\begin{cases}1&{\text{pro }}i=j\\0&{\text{pro }}i\neq j\end{cases}}}$

Tyto podmínky splňuje polynom:

${\displaystyle \ell _{i}(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq n\\m\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{i}-x_{m}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{i}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{i-1})}{(x_{i}-x_{i-1})}}{\frac {(x-x_{i+1})}{(x_{i}-x_{i+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{n})}}}$

Ukázka konstrukce interpolačního polynomu:[2]

Příklad Lagrangeova polynomu (popis zde)

Obrázek vpravo ukazuje příklad konstrukce interpolačního polynomu ${\displaystyle L_{3}(x)}$. Známé body interpolované funkce ${\displaystyle [x_{i},f(x_{i})]}$, kde ${\displaystyle i}$ nabývá celočíselných hodnot od 0 do 3, nazýváme řídící body (barevné kružnice na obrázku). Cílem interpolace je, aby výsledná funkce (polynom) ${\displaystyle L_{3}(x)}$ procházela všemi řídícími body.

Pomocné polynomy ${\displaystyle P_{i}(x)=f(x_{i})\ell _{i}(x)}$ (barevné křivky na obrázku) prochází svými příslušnými řídícími body a v ostatních řídících bodech ${\displaystyle [x_{j},f(x_{j})],(j\neq i)}$ je jejich hodnota nulová. Lze je sestavit podle výše uvedených vzorců. Tedy:

${\displaystyle L_{3}(x)=f(x_{0}){\frac {(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})}}{\frac {(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{2})}}{\frac {(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{3})}}+f(x_{1}){\frac {(x-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})}}{\frac {(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{2})}}{\frac {(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{3})}}+}$

${\displaystyle +f(x_{2}){\frac {(x-x_{0})}{(x_{2}-x_{0})}}{\frac {(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}{\frac {(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{3})}}+f(x_{3}){\frac {(x-x_{0})}{(x_{3}-x_{0})}}{\frac {(x-x_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}}$

Součtem všech pomocných polynomů tak vzniká polynom procházející všemi řídícími body ${\displaystyle L_{3}(x)}$ (černá křivka na obrázku).

U polynomů vyšších řádů je výše popsaný postup časově náročný. Proto se využívá rovnosti ${\displaystyle L_{n}(x)=a_{0}+a_{1}x^{1}+\cdots +a_{n}x^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$, kde ${\displaystyle L_{n}(x_{i})=f(x_{i})}$, ke konstrukci matice ${\displaystyle \Lambda }$ typu ${\displaystyle n\times n}$, jejíž řádky reprezentují lagrangeův polynom n-tého stupně vyčíslený v bodech ${\displaystyle [x_{i},f(x_{i})]}$. Vektor pravých stran je identickým se sloupcovým vektorem ${\displaystyle {\vec {f}}(x_{i})}$.

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}x_{0}&a_{2}x_{0}^{2}&\cdots &a_{n}x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&a_{1}x_{i}&a_{2}x_{i}^{2}&\cdots &a_{n}x_{i}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&a_{1}x_{n}&a_{2}x_{n}^{2}&\cdots &a_{n}x_{n}^{n}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ,{\vec {f}}(x_{i})={\begin{pmatrix}f(x_{0})\\\vdots \\f(x_{i})\\\vdots \\f(x_{n})\\\end{pmatrix}}}$

Neznámé konstanty ${\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}}$ pak nalezneme některou z metod řešení matic (např. Gaussovou eliminační metodou, vynásobením inverzní matice ${\displaystyle \Lambda ^{-1}}$ zprava vektorem pravých stran ${\displaystyle {\vec {f}}(x_{i})}$, apod.).

• Newtonova interpolace
• Polynom

• Kniha Geometrie/Lagrangeova interpolace ve Wikiknihách
• Lagrangeův interpolační polynom
• Lagrangeův interpolační polynom
• Fajmon, Růžičková - Matematika 3 (kapitola 6.1.2)^{[nedostupný zdroj]}