L'Hospitalovo pravidlo

Funkce ${\displaystyle g\,\!}$ i ${\displaystyle g'\,\!}$ musí být nenulové na nějakém okolí čísla ${\displaystyle a}$ (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou). Pokud např. ${\displaystyle a=+\infty }$, pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval ${\displaystyle (r\,,\,+\infty )}$ pro nějaké ${\displaystyle r}$, takže například funkce ${\displaystyle g(x)=\sin x\,\!}$ předpoklad nesplňuje.

Musí platit jedna z podmínek a) nebo b) [3]:

a) ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0\,\!}$

b) ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\pm \infty ,\quad \lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty .}$ (Nekonečna nemusí mít stejná znaménka.)

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo limita ve jmeovateli nevlastní. Tyto případy jsou nazývány "limita typu ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$" resp. "limita tvaru ${\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$".

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita: ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$. Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Symbolem ${\displaystyle f'(x)\,\!}$ značíme derivaci funkce ${\displaystyle f(x)\,\!}$.

Graf funkce k příkladu.

Chceme vypočítat ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3}{x^{5}+6}}}$

Máme tedy ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3,g(x)=x^{5}+6}$.

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý – je nutno ověřit existenci ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{5x^{4}}}}$.

Toto ověření lze provést další aplikací L'Hopitalova pravidla na tuto novou limitu: Limita podílu druhých derivací je ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{20x^{3}}}=0}$.

Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady druhé aplikace L'Hopitalova pravidla, proto platí ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{5x^{4}}}=0}$. Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hopitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3}{x^{5}+6}}=0}$.

V následujících případech tvrzení L'Hospitalova pravidla neplatí, protože nejsou splněny předpoklady.

Pravidlo platí jen pro limity typu ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ či ${\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$. Příkladem funkcí, které tento předpoklad nesplňují, je ${\displaystyle f(x)=x+2,\,g(x)=x+1}$. Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Pokud neexistuje ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$, nelze z toho usuzovat, že neexistuje ani ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$. Příkladem jsou funkce ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}\,,\,\,g(x)=x\,\,\!}$ pro ${\displaystyle \,a=0\,\!}$.

Pro ně platí ${\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}=2x\sin {\frac {1}{x^{2}}}\,+\,{\frac {-2}{x}}\cos({\frac {1}{x^{2}}})\,\!}$

První člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí ${\displaystyle {\frac {2}{x}}\,\!}$ a ${\displaystyle {\frac {-2}{x}}\,\!}$. Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule – což plyne z toho, že pro každé ${\displaystyle x}$ leží ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ v intervalu ${\displaystyle <-|x|\,,\,|x|>\,\!}$.