Kulová úseč

Objem kulové úseče a povrch zakřiveného povrchu kulového vrchlíku lze vypočítat pomocí následujících vztahů:

• Poloměr ${\displaystyle r}$ koule
• Poloměr ${\displaystyle \rho }$ kruhové podstavy úseče
• Výška ${\displaystyle v}$ úseče od středu podstavy úseče k vrcholu úseče (pólu)
• Polární úhel ${\displaystyle \theta }$ mezi přímkou od středu koule k vrcholu úseče (pól) a okrajem podstavy úseče

	Použitím ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle v}$	Použitím ${\displaystyle \rho }$ a ${\displaystyle v}$	Použitím ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle \theta }$
Objem	${\displaystyle V={\frac {\pi v^{2}}{3}}(3r-v)}$	${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi v(3\rho ^{2}+v^{2})}$	${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}}$
Plocha	${\displaystyle S=2\pi rv}$	${\displaystyle S=\pi (\rho ^{2}+v^{2})}$	${\displaystyle S=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}$

Vzorce používající ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle v}$ lze vyjádřit tak, aby používali poloměr podstavy úseče ${\displaystyle a}$ místo ${\displaystyle r}$, použitím Pythagorovy věty:

${\displaystyle r^{2}=(r-v)^{2}+\rho ^{2}=r^{2}+v^{2}-2rv+\rho ^{2}\,,}$

aby

${\displaystyle r={\frac {\rho ^{2}+v^{2}}{2v}}\,.}$

Dosazením do vzorců dostáváme:

${\displaystyle V={\frac {\pi v^{2}}{3}}\left({\frac {3\rho ^{2}+3v^{2}}{2v}}-v\right)={\frac {1}{6}}\pi v(3\rho ^{2}+v^{2})\,,}$

${\displaystyle S=2\pi {\frac {(\rho ^{2}+v^{2})}{2v}}v=\pi (\rho ^{2}+v^{2})\,.}$

Otáčení zelené oblasti vytváří kulovou čepičku s výškou ${\displaystyle h}$ a poloměr koule ${\displaystyle r}$ .

Vzorce objemu a plochy mohou být odvozeny zkoumáním rotace funkce

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

for ${\displaystyle x\in [0,v]}$, použijeme vztah výpočtu plochy pomocí určitého integrálu a pro výpočet objemu tělesa také za pomocí určitého integrálu.

Výpočet plochy je

${\displaystyle S=2\pi \int _{0}^{v}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

Derivací funkce f je:

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

a odtud

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

Vzorec pro tuto oblast je tedy

${\displaystyle S=2\pi \int _{0}^{v}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{v}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{v}=2\pi rv}$

Objem je

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{v}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{v}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{v}={\frac {\pi v^{2}}{3}}(3r-v)}$