Kriging

Jednoduchá myšlenka je předpoklad funkční hodnoty daného bodu vypočítaného váženého průměru známých funkčních hodnot sousedních bodů. Metoda je matematicky úzce související s regresní analýzou. Obě teorie odvozují nejlepší lineární nestranný odhad, založený na předpokladu kovariance. Využitím gauss-Markovy teorie dokážeme nezávislost odhadů a omylů a využívá velmi podobné vzorce. Nicméně jsou použitelné rozdílné rámce: kriging je dělaný pro odhad jednu realizaci z náhodných polí, zatímco regresní model je založen na základě pozorování vícerozměrné datové sady.

Odhad krigingu může být také viděn jako křivka v reprodukujícím se jádra Hilbertova prostoru s reprodukujícím jádrem dané kovarianční funkce. Na rozdíl od klasického krigingu je provedena interpretace: zatímco křivka je motivována minimální normou interpolací založenou na Hilbertově prostorové struktuře, kriging je motivován očekávanou kvadratickou chybou na základě stochastického modelu.

Kriging s polynomiálním trendem ploch je matematicky identický jako zobecněný polygon nejmenších čtverců křivky.

Kriging může být známý jako forma Bayesianova závěru. Kriging začíná s základním rozšířením přes funkce. Tento základ bere formu gausova procesu. N vzorků z funkce která má normální rozdělení a kovariance mezi dvěma vzorky je kovariance funkce (nebo jádra) gausova procesu hodnoceny prostorovým rozmístěním dvou bodů. Sada hodnot je pak pozorována, každá hodnota souvisí s prostorovým rozmístěním. Takže nová hodnota může být předpovězena v nějakém novém prostorovém rozmístění, kombinací základní gausovskou funkcí s gausovskou věrohodnostní funkcí pro každou pozorovanou hodnotu. Výsledná distribuce pozadí je také Gaussian s průměrnou hodnotou a kovariancí, která může být snadno vypočítána z pozorovaných hodnot, jejich rozdílnosti a jádra matic odvozených od předchozích.

V geostatistickém modelu jsou některá data interpretována jako výsledky náhodného procesu. Skutečnost, že tyto modely obsahují nejistotu v jeho konceptualizaci, neznamená, že tento jev – les, zavodnění nebo minerální usazenina – mají výsledky z náhodného procesu ale pouze umožňují vytvořit metodologické základy pro prostorové závěry z množství nevypozorovaných lokalit a kvantifikovat nejistoty spojené s odhadem. Stochastický proces je v rámci tohoto modelu, způsob jak přistupovat k souboru údajů shromážděných ze vzorků. První krok v geostatistických modulacích je vytvoření náhodného procesu, který nejlépe popisuje sadu experimentálních pozorovaných dat. Hodnota prostorově umístěná v ${\displaystyle x_{1}}$ (obecné označení datové sady s geografickým souřadnicovým systémem) je interpretovaná jako realizace ${\displaystyle z(x_{1})}$ náhodné proměnné ${\displaystyle Z(x_{1})}$. V prostoru ${\displaystyle A}$, kde datová sada vzorků je rozptýlená, existuje ${\displaystyle N}$ realizace těchto náhodných veličin${\displaystyle Z(x_{1}),Z(x_{2}),\cdots ,Z(x_{N})}$, korelujících mezi sebou. Datová sada náhodných veličin, představuje náhodnou funkci pouze u těch u kterých je známá pouze jedna realizace ${\displaystyle z(x_{i})}$ - soubor experimentálních dat. S pouze jednou realizací každé náhodné proměnné, je teoreticky možné určit všechny statistické parametry jednotlivých proměnných nebo funkcí.

Navrhované řešení geostatistických formalismů spočívá v předpokladu různých stupňů stacionarity v náhodné funkci, aby bylo možné se domnívat závěru některých statistických hodnot.

Například, jestliže skupina vědců předpokládá odpovídající, je vhodné na základě homogenity vzorků v oblasti ${\displaystyle A}$, kde je distribuována proměnná, hypotetizovat, že první část je stacionární (všechny náhodné proměnné mají stejný průměr), z čehož vyplývá, že průměr může být odhadnut aritmetickým průměrem vybraných hodnot. Soudě hypotézu jako je tato, tak v případě potřeby dostatečně ověřte homogenitu vzorových hodnot, jestli jsou reprezentativní.

Hypotéza stacionarity týkající se druhé části je definována následujícím způsobem: korelace mezi dvěma náhodnými proměnnými závisí pouze na prostorové vzdálenosti, která je odděluje a je závislá na jeho poloze:

${\displaystyle C(Z(x_{1}),Z(x_{2}))=C(Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ))=C(\mathbf {h} )}$

${\displaystyle \gamma (Z(x_{1}),Z(x_{2}))=\gamma (Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ))=\gamma (\mathbf {h} )}$

kde ${\displaystyle \mathbf {h} =(x_{1},x_{2})=(x_{i},x_{i}+\mathbf {h} )}$

Tato hypotéza umožňuje odvozovat kroky - variogram a kovariogram - na základě ${\displaystyle N}$ vzorků:

${\displaystyle \gamma (\mathbf {h} )={\frac {1}{2N(\mathbf {h} )}}\sum _{i=1}^{N(\mathbf {h} )}\left(Z(x_{i})-Z(x_{i}+\mathbf {h} )\right)^{2}}$

${\displaystyle C(\mathbf {h} )={\frac {1}{N(\mathbf {h} )}}\sum _{i=1}^{N(\mathbf {h} )}\left(Z(x_{i})Z(x_{i}+\mathbf {h} )\right)-m(x_{i})m(x_{i}+\mathbf {h} )}$

kde ${\displaystyle m(x_{i})={\frac {1}{N(\mathbf {h} )}}\sum _{i=1}^{N(\mathbf {h} )}Z(x_{i})}$

Prostorový závěr nebo odhad kvantity${\displaystyle Z:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ na neurčeném místě ${\displaystyle x_{0}}$ je vypočítán z lineární kombinace pozorovaných hodnot${\displaystyle z_{i}=Z(x_{i})}$ a vah ${\displaystyle w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots ,N}$:

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{N}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{N}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})}$

Váhy ${\displaystyle w_{i}}$jsou určeny ke shrnutí dvou extrémně důležitých procedur v závěru prostorového procesu:

• odrážet strukturální "blízkost" vzorků odhadovaného umístění, ${\displaystyle x_{0}}$
• ve stejnou dobu by měli mít degradující efekt, aby se předešlo zkreslení případnými shluky

Když vypočítáváme váhy ${\displaystyle w_{i}}$, tak jsou v geostatistice dva závěry: nestranný a minimální odchylka odhadu.

Jestliže mračno reálných hodnot${\displaystyle Z(x_{0})}$je vykresleno proti odhadovaným hodnotám ${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$tak kritérium pro souhrnnou nestrannost, vnitřní stacionarita nebo široký smysl stacionarity oboru, znamená, že průměr odhadů musí být roven průměru skutečných hodnot.

Druhé kritérium říká, že průměrná kvadratická odchylka${\displaystyle ({\hat {Z}}(x)-Z(x))}$ musí být minimální, což znamená, že když se mračno odhadovaných hodnot oproti mraku skutečných hodnot více rozptýlí, odhad je více nepřesný.

Neznámá hodnota ${\displaystyle Z(x_{0})}$ je interpretována jako náhodná proměnná nacházející se v ${\displaystyle x_{0}}$, jakož i hodnoty sousedních vzorků ${\displaystyle Z(x_{i}),i=1,\cdots ,N}$. Odhad ${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$ je také interpretován jako náhodná proměnná nacházející se v ${\displaystyle x_{0}}$, výsledek lineární kombinace proměnných.

Aby bylo možné vyvodit krigovací systém pro předpoklad modelu, následující chyba při odhadování ${\displaystyle Z(x)}$ v ${\displaystyle x_{0}}$ je deklarována:

${\displaystyle \epsilon (x_{0})={\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{i})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0})}$

Obě kritéria kvality uvedená dříve mohou nyní být vyjádřena z hlediska střední hodnoty a rozptylu nové náhodné proměnné ${\displaystyle \epsilon (x_{0})}$:

Objektivnost

Vzhledem k tomu, že náhodná funkce je stacionární ${\displaystyle E(Z(x_{i}))=E(Z(x_{0}))=m}$, uvádí se následující omezení:

${\displaystyle E\left(\epsilon (x_{0})\right)=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E(Z(x_{i}))-E(Z(x_{0}))=0\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})=1\Leftrightarrow \mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}$

Aby se zajistilo, že model je objektivní, součet vah musí být jedna.

Minimální variance: minimalizuje ${\displaystyle E\left(\epsilon (x_{0})^{2}\right)}$

Dva odhady můžou mít ${\displaystyle \epsilon (x_{0})=0}$, ale disperze kolem jejich střední hodnoty určí rozdíl mezi kvalitou odhadů.

${\displaystyle {\begin{array}{rl}Var(\epsilon (x_{0}))&=Var\left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{i})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)=\\&{\overset {*}{=}}{\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot Var\left({\begin{bmatrix}Z(x_{i})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}\end{array}}}$

* navštivte covariance matrix pro detailní vysvětlení (v angličtině)

${\displaystyle Var(\epsilon (x_{0})){\overset {*}{=}}{\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Var_{x_{i}}&Cov_{x_{i}x_{0}}\\Cov_{x_{i}x_{0}}^{T}&Var_{x_{0}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}}$

* kde literály představují ${\displaystyle \left\{Var_{x_{i}},Var_{x_{0}},Cov_{x_{i}x_{0}}\right\}}$ stand for ${\displaystyle \left\{Var\left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),Var\left(Z(x_{0})\right),Cov\left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T},Z(x_{0})\right)\right\}}$.

Jednou definovaná kovariance modelu nebo variogram, ${\displaystyle C(\mathbf {h} )}$ nebo ${\displaystyle \gamma (\mathbf {h} )}$, platné ve všech oblastech analýzy ${\displaystyle Z(x)}$, pak můžeme definovat vztah pro odhad rozptylu libovolného odhadu v závislosti na kovarianci mezi vzorky:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}Var(\epsilon (x_{0}))=W^{T}\cdot Var_{x_{i}}\cdot W-Cov_{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot Cov_{x_{i}x_{0}}+Var_{x_{0}}\\Var(\epsilon (x_{0}))=Cov(0)+\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}Cov(x_{i},x_{j})-2\sum _{i}w_{i}C(x_{i},x_{0})\end{array}}\right.}$

Některé závěry mohou být z těchto výrazů stanoveny. Rozptyl odhadu:

• není kvantifikovatelný na kterýkoliv lineární odhad, jakmile se předpokládá stacionarita průměru a prostorových kovariancí nebo variogramy.
• roste, když se kovariance mezi vzorky a místem pro odhad snižuje. To znamená, že když vzorky jsou daleko od ${\displaystyle x_{0}}$, nejhorší je odhad.
• roste zároveň s "prioritním" rozptylem ${\displaystyle C(0)}$ proměnné ${\displaystyle Z(x)}$. Pokud je proměnná méně rozptýlená, rozptyl je nižší v každém bodě prostoru ${\displaystyle A}$.
• nezávisí na hodnotách vzorků. To znamená, že stejné prostorové uspořádání (se stejnými geometrickými vztahy mezi vzorky a body odhadu) vždy reprodukuje stejný odhad rozptylu v jakékoli části areálu ${\displaystyle A}$. Tímto způsobem rozptyl neměří nejistotu odhadu produkovanou místní proměnnou.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {W}{\operatorname {minimize} }}&&W^{T}\cdot Var_{x_{i}}\cdot W-Cov_{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot Cov_{x_{i}x_{0}}+Var_{x_{0}}\\&\operatorname {subject\;to} &&\mathbf {1} ^{T}\cdot W=1\end{aligned}}}$

Řešení tohoto optimalizačního problému má za následek vznik systému kriging:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {W}}\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Var_{x_{i}}&\mathbf {1} \\\mathbf {1} ^{T}&0\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}Cov_{x_{i}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{1},x_{n})&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\gamma (x_{n},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{n},x_{n})&1\\1&\cdots &1&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x^{*})\\\vdots \\\gamma (x_{n},x^{*})\\1\end{bmatrix}}}$

další parametr ${\displaystyle \mu }$ je Lagrangeův násobič použitý při minimalizaci chyby krigingu ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}(x)}$ pro dosažení nestrannosti.

Jednoduchý kriging je matematicky nejjednodušší, ale nejméně obecný. To předpokládá, že očekávaná hodnota náhodného pole je známá, a opírá se o kovarianční funkci. Nicméně, ve většině aplikací nejsou očekávání, ani kovariance známy předem.

Praktické předpoklady pro uplatnění jednoduchého krigingu jsou:

• Široká stacionarita pole.
• Očekávání je všude nulové: ${\displaystyle \mu (x)=0}$.
• Známá kovarianční funkce ${\displaystyle c(x,y)=\mathrm {Cov} (Z(x),Z(y))}$

Krigovací váhy jednoduchého krigingu nemají nestrannou podmínku a jsou dány systémem rovnic jednoduchého krigingu:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}}$

Toto je analogické s lineární regresí ${\displaystyle Z(x_{0})}$ na jiném ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$.

Interpolace pomocí jednoduchého krigingu je dána:

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}}$

Krigovací chyba ja dána:

${\displaystyle \mathrm {Var} \left({\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})\right)=\underbrace {c(x_{0},x_{0})} _{\mathrm {Var} (Z(x_{0}))}-\underbrace {{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}} _{\mathrm {Var} ({\hat {Z}}(x_{0}))}}$

což vede ke generalizované verzi nejmenších čtverců Gauss-Markovova teorému:

${\displaystyle \mathrm {Var} (Z(x_{0}))=\mathrm {Var} ({\hat {Z}}(x_{0}))+\mathrm {Var} \left({\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})\right).}$

• Odhad krigingu je nestranný:: ${\displaystyle E[{\hat {Z}}(x_{i})]=E[Z(x_{i})]}$
• Odhad krigingu využívá skutečně pozorované hodnoty: ${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{i})=Z(x_{i})}$ (za předpokladu, že nevznikla chyba ve měření, při kterém vznikly)
• Odhad krigingu ${\displaystyle {\hat {Z}}(x)}$ je nejlepší lineární nestranný odhad pro ${\displaystyle Z(x)}$ v případě, že předpoklad trvá. Avšak:
  • Stejně jako u jiných metod: Pokud předpoklady netrvají, krigování může být špatné.
  • Mohou existovat lepší nelineární a/nebo zkreslené metody.
  • Vlastnosti nejsou garantovány, pokud je použit nesprávný variogram. Nicméně obvykle je dosaženo ještě "dobré" interpolace.
  • Nejlepší nemusí být nutně dobré: např. V případě neprostorové závislosti je krigovací interpolace jen tak dobrá jako aritmetický průměr.
• Kriging používá ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}}$ jako měřítko přesnosti. Nicméně toto opatření se opírá o správnost variogramu.

• R packages

1. BACCO - Bayesian analysis of computer code software
2. tgp - Treed Gaussian processes
3. DiceDesign, DiceEval, DiceKriging, DiceOptim - metamodeling packages of the Dice Consortium.

• Matlab/GNU Octave

1. mGstat - Geostistics toolbox for Matlab.
2. DACE - Design and Analysis of Computer Experiments. A matlab kriging toolbox.
3. GPML - Gaussian Processes for Machine Learning.
4. STK - Small (Matlab/GNU Octave) Toolbox for Kriging for design and analysis of computer experiments.
5. scalaGAUSS - Matlab kriging toolbox with a focus on large datasets

• Scilab

1. DACE-Scilab - Scilab port of the DACE kriging matlab toolbox
2. krigeage - Kriging toolbox for Scilab
3. KRISP - Kriging based regression and optimization package for Scilab

• Python

1. scikit-learn - machine learning in Python