Komprimované snímání

Komprimované snímání (anglicky compressed sensing nebo také compressive sampling) je metoda snímání a rekonstrukce signálu, která za předpokladu řídkosti signálu ve vhodné reprezentaci vede ke snížení počtu měření [1]. Z pohledu matematiky se jedná o řešení nedourčené soustavy lineárních rovnic se snahou o nalezení řešení s co nejmenším počtem nenulových koeficientů.

Schéma úlohy

Oproti obvyklému přístupu ke snímání dat, kdy nejprve musíme nasbírat veškerá data, poté provést vhodnou transformaci a následně zachovat jen ty koeficienty, které nesou dostatečné množství informace, při komprimovaném snímání stačí snímat signál pouze tolikrát, kolik je skutečně třeba pro následnou rekonstrukci (snímání a komprimace jsou tedy jediným nedělitelným procesem). Signál z předpokládáme řídký v nějakém slovníku (bázi či framu) Ψ (z = Ψx, x je řídké) a provedeme malý počet měření, které mají charakter lineárních kombinací složek signálu. Proces snímání lze tedy zapsat jako y = Pz = PΨx. Zde P je tzv. měřicí matice rozměru m×N, kde m ≪ N. Fáze rekonstrukce signálu je pak řešením problému:

\min _{x}\|x\|_{0}\quad {\mbox{vzhledem k}}\quad y=P\Psi x.

Tento problém je již nelineární a časově velmi náročný, dokonce NP-těžký [2], a proto jej nelze řešit přímo. Jednou z možností je nahradit $l_{0}$ -normu nějakou jinou (např. $l_{1}$ ), takové metody se pak nazývají relaxační a patří mezi ně především Basis Pursuit (BP), Least Angle Regression homotopy method (LARS) a Iterative Reweighted Least Squares (IRLS). Druhou skupinu metod tvoří hladové (greedy) algoritmy, které iterativně aproximují signál hledáním nejvýznamnějších atomů ze slovníku. Výhodou těchto metod je nízká složitost, bohužel však není zaručeno dosažení globálního minima. Zástupci této kategorie jsou Matching Pursuit (MP), Orthogonal Matching Pursuit (OMP) a další modifikace. Mimo tyto dvě kategorie existují algoritmy hybridní, využívající rysy obou předchozích skupin (např. A*OMP) [2].

Aplikace komprimovaného snímání zahrnují zpracování obrazu (např. rychlé snímání v magnetické rezonanci [1] [3] nebo tzv. jednopixelová kamera [4]), odšumování signálů (denoising), odstraňování rozmazání (deblurring), doplňování chybějící informace v signálu (inpainting) [5], nové metody radiolokace [6], optimalizace ekvalizace v bezdrátových OFDM kanálech [7], korekční kódování v komunikačních technologiích [8] nebo pokusy o konstrukci nových typů A/D převodníků [9].

Reference

Hrbáček, R.; Rajmic, P.; Veselý, V. & Špiřík, J. Řídké reprezentace signálů: komprimované snímání. Elektrorevue – Internetový časopis, 2011, 1-8
Hrbáček, R.; Rajmic, P.; Veselý, V. & Špiřík, J. Řídké reprezentace signálů: úvod do problematiky. Elektrorevue – Internetový časopis, 2011, 1-10
Lustig, M.; Donoho, D.; Santos, J.; aj.: Compressed Sensing MRI. IEEE Signal Processing Magazine, ročník 25, č. 2, 2008: s. 72–82, ISSN 1053-5888.
Duarte, M.; Davenport, M.; Takhar, D.; aj.: Single-Pixel Imaging via Compressive Sampling. IEEE Signal Processing Magazine, ročník 25, č. 2, 2008: s. 83–91, ISSN 1053-5888.
Elad, M.: Sparse and Redundant Representations: From Theory to Applications in Signal and Image Processing. Springer, 2010, ISBN 978-1-4419-7010-7.
Fannjiang, A. C.; Strohmer, T.; Yan, P.: Compressed Remote Sensing of Sparse Objects. SIAM Journal on Imaging Sciences, ročník 3, č. 3, 2010: s. 595–618.
Tauböck, G.; Hlawatsch, F.; Eiwen, D.; aj.: Com-pressive Estimation of Doubly Selective Channels in Multicarrier Systems: Leakage Effects and Sparsity-Enhancing Processing. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, ročník 4, č. 2, 2010: s. 255–271, ISSN 1932-4553.
Candes, E. J.; Tao, T.: Decoding by Linear Programming. IEEE Transactions on Information Theory, ročník 51, 2005: s. 4203–4215.
Candes, E. J.; Wakin, M. B.: An introduction to compressive sampling. IEEE Signal Processing Magazine, ročník 25, č. 2, 2008: s. 21–30, ISSN 1053-5888.

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[komprimovane_snimani-1] Hrbáček, R.; Rajmic, P.; Veselý, V. & Špiřík, J. Řídké reprezentace signálů: komprimované snímání. Elektrorevue – Internetový časopis, 2011, 1-8

[uvod-2] Hrbáček, R.; Rajmic, P.; Veselý, V. & Špiřík, J. Řídké reprezentace signálů: úvod do problematiky. Elektrorevue – Internetový časopis, 2011, 1-10

[3] Lustig, M.; Donoho, D.; Santos, J.; aj.: Compressed Sensing MRI. IEEE Signal Processing Magazine, ročník 25, č. 2, 2008: s. 72–82, ISSN 1053-5888.

[4] Duarte, M.; Davenport, M.; Takhar, D.; aj.: Single-Pixel Imaging via Compressive Sampling. IEEE Signal Processing Magazine, ročník 25, č. 2, 2008: s. 83–91, ISSN 1053-5888.

[5] Elad, M.: Sparse and Redundant Representations: From Theory to Applications in Signal and Image Processing. Springer, 2010, ISBN 978-1-4419-7010-7.

[6] Fannjiang, A. C.; Strohmer, T.; Yan, P.: Compressed Remote Sensing of Sparse Objects. SIAM Journal on Imaging Sciences, ročník 3, č. 3, 2010: s. 595–618.

[7] Tauböck, G.; Hlawatsch, F.; Eiwen, D.; aj.: Com-pressive Estimation of Doubly Selective Channels in Multicarrier Systems: Leakage Effects and Sparsity-Enhancing Processing. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, ročník 4, č. 2, 2010: s. 255–271, ISSN 1932-4553.

[8] Candes, E. J.; Tao, T.: Decoding by Linear Programming. IEEE Transactions on Information Theory, ročník 51, 2005: s. 4203–4215.

[9] Candes, E. J.; Wakin, M. B.: An introduction to compressive sampling. IEEE Signal Processing Magazine, ročník 25, č. 2, 2008: s. 21–30, ISSN 1053-5888.