Frame

Množina (nejvýše spočetná) vektorů ${\displaystyle \left\{{\varphi }_{k}\right\}_{k\in \mathbb {I} }}$ v prostoru ${\displaystyle \mathbb {V} }$ v něm tvoří frame, pokud existují konstanty ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$ takové, že platí

${\displaystyle A\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {I} }\left\vert \left\langle {\mathbf {x} },{\varphi }_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq B\left\|\mathbf {x} \right\|^{2},\ \forall {\mathbf {x} }\in \mathbb {V} .}$

Prvky framu ${\displaystyle \varphi _{k}\ }$ se obvykle nazývají atomy. Konstanty ${\displaystyle A\ ,\ B\ }$ se pak nazývají mezemi framu. Optimální dolní mez pak definujeme jako supremum ze všech dolních mezí a optimální horní jako infinimum z horních mezí.

Rozdělení framů

Rozdělení framů. ENF: Equal norm frames, TF: Tight frames, ENTF: Equal-norm tight frames, UNF: Unit-norm frames, PTF: Parseval tight frames, UNTF: Unit-norm tight frames, ENPTF: Equal norm tight frames, ONB: Ortonormální báze

Pokud ${\displaystyle A\ =B\ }$, pak takový frame nazýváme těsný frame (tight frame - TF). Zvláštním případem je pak tzv. 1-těsný frame, který se často nazývá Parsevalův těsný frame (Parseval tight frame - PTF), kdy platí dokonce ${\displaystyle A\ =B\ =1\ }$.

Další skupinou jsou framy, pro něž platí, že všechny jejich prvky mají stejnou normu (Equal-norm frames - ENF), ${\displaystyle \left\|\varphi _{i}\right\|=\left\|\varphi _{j}\right\|,i,j\in \mathbb {I} .}$ Unitární framy (Unit-norm frames - UNF) jsou pak framy, v nichž mají všechny prvky normu rovnou 1, ${\displaystyle \left\|\varphi _{i}\right\|=1,i\in \mathbb {I} }$.

• Báze (algebra)
• Vektorový prostor
• Komprimované snímání