Řád prvku

Buď dána grupa ${\displaystyle G\,\!}$, a prvek ${\displaystyle a\in G\,\!}$. Je-li cyklická grupa generovaná prvkem ${\displaystyle a\,\!}$ konečná, pak řád prvku ${\displaystyle a\,\!}$ v grupě ${\displaystyle G\,\!}$ klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak ${\displaystyle 0\,\!}$ (u některých autorů ${\displaystyle \infty \,\!}$).

• Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
• Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
• Buď ${\displaystyle f:G\rightarrow H\,\!}$ homomorfismus grup a ${\displaystyle a\in G\,\!}$ prvek konečného řádu, pak ${\displaystyle \operatorname {ord} \,f(a)|\operatorname {ord} \,a\,\!}$. Je-li navíc ${\displaystyle f\,\!}$ injektivní, pak ${\displaystyle \operatorname {ord} \,f(a)=\operatorname {ord} \,a\,\!}$.
• Z předchozího tvrzení plyne, že ${\displaystyle \operatorname {ord} \,a^{-1}=\operatorname {ord} \,a\,\!}$ (kde ${\displaystyle a^{-1}\,\!}$ je inverzní prvek k ${\displaystyle a\,\!}$), neboť zobrazení ${\displaystyle a\mapsto a^{-1}\,\!}$ je automorfismem grupy.
• Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem ${\displaystyle 1\,\!}$ (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

• RNDR. LADISLAV BERAN, CSC. Grupy a svazy. [s.l.]: SNTL, 1974. Kapitola 2.4. Podgrupa generovaná komplexem, s. 67–68. (česky)
• PROF. RNDR. JIŘÍ ROSICKÝ, DRSC. ALGEBRA. Brno: Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. (česky)