Helmholtzova–Kelvinova kontrakce

Pro výpočet celkové energie si Slunce představíme jako dokonalou kouli složenou z koncentrických kulových sfér. Gravitační potenciální energie je pak integrálem přes všechny sféry od centra po vnější poloměr.

Gravitační potenciální energie je v Newtonově mechanice definována jako:

${\displaystyle U=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r}}}$ , kde G je gravitační konstanta, m₁ je hmotnost části od středu až po poloměr r (závisí tedy na poloměru r, ${\displaystyle m_{1}=m(r)}$) a m₂ je hmotnost kulové vrstvy s tloušťkou dr. Při konstantní hustotě ${\displaystyle \rho }$ materiálu, z něhož je tato část, platí ${\displaystyle m_{2}=4\pi r^{2}\rho dr}$.

Po dosazení:

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr}$, kde R je vnější poloměr koule. Záměnou m(r) za vztah pro výpočet hmotnosti koule s hustotou ${\displaystyle \rho }$ získáme:

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}}$

Využitím vztahu pro celkovou hmotnost koule ${\displaystyle M={\frac {4\pi r^{3}\rho }{3}}}$ získáme konečný vztah:

${\displaystyle U=-{\frac {3M^{2}G}{5R}}}$

I když hustota Slunce není všude stejná, můžeme tento vztah využít pro hrubý odhad délky života Slunce, pokud by získávalo energii Kelvin-Helmholtzovým mechanismem. Budeme předpokládat konstantní zářivý výkon, hmotnost a poloměr Slunce. Podíl potenciální energie materiálu Slunce a jeho zářivého výkonu dává aktivní dobu života Slunce:

${\displaystyle {\frac {U}{L_{\bigodot }}}\approx {\frac {2.3\times 10^{41}\ \mathrm {J} }{4\times 10^{26}\ \mathrm {W} }}\approx 18220650\ \mathrm {let} }$

Protože geologické stáří Země je mnohem větší než je tento výsledek, Kelvin-Helmholtzův mechanismus nemůže být zdrojem energie na Slunci.

Jupiter v současné době vyzařuje dvakrát tolik tepla než na něj dopadá ze Slunce.[4] Aby byla tato energie uvolňována podobně jako na Slunci termojadernou reakcí, musel by být Jupiter přibližně 75× hmotnější. Aby v jeho nitru mohly probíhat alespoň deuteriové reakce, jako v nitru hnědých trpaslíků, musel by být asi 13× hmotnější. Nejchladnější známý hnědý trpaslík je asi 15-30 hmotnější než Jupiter.[5]

Proto se předpokládá, že toto přídavné teplo vzniká Kelvin-Helmholtzovým mechanismem vlivem adiabatické kontrakce. Tento proces vede k planetárnímu smršťování rychlostí přibližně 3 cm za rok.[6]

Podobně jako Jupiter i Saturn vyzařuje více energie (např. v podobě tepla 1,78× více tepla než dostává od Slunce), což bylo dříve vysvětlováno Kelvin-Helmholtzovým mechanismem. Dnes se předpokládá, že je způsobeno nejspíše klesáním hélia do spodnějších vrstev v jeho atmosféře a dalšími procesy.[1]