Elektrický výkon

V obvodech stejnosměrného proudu jsou napětí i proud konstantní a lze tedy psát:[1]

${\displaystyle P=p(t)=UI}$

Při využití Ohmova zákona lze odvodit další ekvivalentní vyjádření (užitečná při znalosti odporu):

${\displaystyle P={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}R}$

V obvodech střídavého proudu jsou obě veličiny (a tedy i okamžitý výkon) závislé na čase. Jejich průběhy jsou však zpravidla periodické, nejčastěji pak se sinusovým průběhem. Pokud tedy napětí a proud mají sinusový průběh o amplitudách ${\displaystyle U_{\mathrm {m} }}$, resp. ${\displaystyle I_{\mathrm {m} }}$, úhlové frekvenci ${\displaystyle \omega }$ a fázovém posuvu mezi proudem a napětím ${\displaystyle \varphi }$, platí:

${\displaystyle p(t)=u(t)i(t)=U_{\mathrm {m} }\sin(\omega t+\varphi )\,I_{\mathrm {m} }\sin(\omega t)=UI\left(\left(1-\cos 2\omega t\right)\cos \varphi +\sin 2\omega t\,\sin \varphi \right)}$,

kde ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle I}$ jsou efektivní hodnoty napětí a proudu (${\displaystyle {\sqrt {2}}U=U_{\mathrm {m} }}$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}I=I_{\mathrm {m} }}$).

Okamžité napětí, proud a výkon v obvodu střídavého proudu

Z tohoto vztahu je zřejmé, že okamžitý výkon u sinusového průběhu má také periodický, sinusový průběh, ovšem s dvojnásobnou frekvencí (viz obrázek). V některých okamžicích je navíc výkon záporný – z toho je vidět, že část výkonu se obvodem přelévá tam i zpět.

U periodického průběhu lze definovat střední hodnotu výkonu za periodu:

${\displaystyle P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}u(t)i(t)\,\mathrm {d} t}$

Tato střední hodnota popisuje výkon, který se přenáší od zdroje ke spotřebiči, kde se nenávratně proměňuje v jiný druh energie. Proto se označuje jako činný výkon. V případě sinusového průběhu lze tuto střední hodnotu vypočítat jako

${\displaystyle P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}u(t)i(t)\,\mathrm {d} t=UI\cos \varphi }$

Je vidět, že oproti výkonu u stejnosměrného proudu přibyl člen ${\displaystyle \cos \varphi }$, který vyjadřuje závislost činného výkonu na fázovém posuvu proudu oproti napětí a označuje se výrazem účiník. Při nulovém fázovém posuvu (zátěž je čistě odporová) je tento člen roven jedné a činný výkon je roven prostému součinu efektivního napětí a proudu, obdobně jako u stejnosměrného obvodu. Pokud je však posuv nenulový (v obvodu jsou zařazeny kapacitní či indukční prvky), je tento člen menší než jedna a činný výkon je o něco nižší. Při fázovém posuvu rovném ±π/2 (čistě kapacitní nebo čistě indukční zátěž) je pak účiník roven nule a činný výkon je nulový – celý výkon se vratně přenáší mezi zdrojem a spotřebičem tam a zpět, žádná energie se nespotřebovává.

Část výkonu, která se obvodem přelévá tam a zpět (a způsobuje v části periody zápornou hodnotu okamžitého výkonu), se označuje jako jalový výkon. Je způsobena tím, že elektrická energie v jedné části periody v kondenzátoru vytváří elektrické pole, resp. v cívce magnetické pole, v druhé části periody pak tato pole zanikají a stejnou energii vracejí do obvodu. Velikost jalového výkonu je rovna

${\displaystyle Q=UI\sin \varphi }$

Rozměr této veličiny je stejný jako u činného výkonu, ale pro odlišení různého fyzikálního významu se používá jiná jednotka – voltampér reaktanční, značený „var“ (někdy se používají též varianty „VAr“, „VAR“ apod., ty jsou však chybné[2]). Podle toho, zda má zátěž indukční nebo kapacitní charakter a zda je tedy fázový posuv kladný nebo záporný, může i jalový výkon nabývat obou znamének: pokud se proud zpožďuje za napětím (indukční zátěž), je jalový výkon kladný, v opačném případě je záporný.

Z praktických důvodů se pak ještě definuje tzv. zdánlivý výkon vztahem

${\displaystyle S=UI}$

Jako jednotka se zde užívá voltampér značený „VA“. Jednotlivé druhy výkonu spojuje vztah

${\displaystyle S={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}}$

Zdánlivý výkon sice nemá přímý fyzikální význam, ale je důležitý zejména z toho důvodu, že mnoho elektrotechnických prvků má vlastnosti závislé na napětí a na proudu, takže rozměry a možnosti těchto prvků se odvozují od zdánlivého výkonu. Přestože se jalový výkon ve spotřebiči neproměňuje, je potřeba ho po obvodu přenášet, což má za následek ztráty po cestě; snahou tedy je přenášený jalový výkon minimalizovat (vhodným návrhem, případně s využitím tzv. kompenzátorů účiníku). Zdánlivý výkon lze také chápat jako největší možný výkon, dosažitelný při nulovém fázovém posuvu (tzn. jednotkovém účiníku).

Rozklad výkonu (červeně) na složku činnou (zeleně) a jalovou (modře)

Při analýze výkonu lze také uvažovat fázory: fázor proudu lze vektorově rozložit do činné složky (rovnoběžné s fázorem napětí) a jalové složky (kolmé na fázor napětí). Z nich lze mimo jiné odvodit okamžitou hodnotu činné i jalové složky:

${\displaystyle p_{\mathrm {c} }(t)=UI\cos \varphi \,(1-\cos 2\omega t)}$

${\displaystyle p_{\mathrm {j} }(t)=UI\sin \varphi \,\sin 2\omega t}$

Je vidět, že okamžitá hodnota činné složky nabývá vždy pouze nezáporných hodnot, jedná se tedy o tu část výkonu, která teče do spotřebiče a nevratně se v něm přeměňuje. Činný výkon tedy lze chápat jako výkon činné složky. Oproti tomu jalová složka má periodický průběh s nulovou střední hodnotou; neznamená tedy žádnou trvalou přeměnu energie a odpovídá periodické vratné výměně mezi zdrojem a spotřebičem, jde tedy o jalový výkon.

Trojúhelník výkonů – vztah mezi činným P[W], jalovým Q[var] a zdánlivým výkonem S[VA]

Vztah mezi jednotlivými druhy výkonů lze graficky ztvárnit pomocí tzv. trojúhelníka výkonů, na kterém je vidět činný i jalový výkon, jejichž vektorovým součtem vzniká výkon zdánlivý.

Při použití komplexní analýzy lze také formulovat výrazy pro jednotlivé veličiny na základě fázorů napětí a proudů. Komplexní obdobou zdánlivého výkonu je tzv. komplexní výkon, definovaný vztahem

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {U} \mathbf {I^{*}} =P+\mathrm {j} Q}$

Následně lze vyjádřit

${\displaystyle P=\mathrm {Re} (\mathbf {S} )={\frac {1}{2}}\mathrm {Re} (\mathbf {U_{\mathrm {m} }} \mathbf {I_{\mathrm {m} }^{*}} )}$

${\displaystyle Q=\mathrm {Im} (\mathbf {S} )={\frac {1}{2}}\mathrm {Im} (\mathbf {U_{\mathrm {m} }} \mathbf {I_{\mathrm {m} }^{*}} )}$

${\displaystyle S=|\mathbf {S} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {U_{\mathrm {m} }} \mathbf {I_{\mathrm {m} }^{*}} |}$

Pokud není průběh napětí a proudu čistě sinusový, získá se činný výkon součtem výkonů jednotlivých harmonických složek:

${\displaystyle P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\,\mathrm {d} t=U_{0}I_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }U_{k}I_{k}\cos \varphi _{k}}$

Jalový výkon (který zde však nemá příliš velký samostatný význam) se pak obvykle definuje jako

${\displaystyle Q=\sum _{k=1}^{\infty }U_{k}I_{k}\sin \varphi _{n}}$

Pro zdánlivý výkon ${\displaystyle S=UI}$ pak už neplatí výše uvedený vztah, protože nyní ${\displaystyle S^{2}\geq P^{2}+Q^{2}}$, takže se zavádí tzv. deformační výkon, značený D a udávaný ve voltampérech, aby platilo:

${\displaystyle S=UI={\sqrt {P^{2}+Q^{2}+D^{2}}}}$

Účiník je pak definován vztahem

${\displaystyle \lambda ={\frac {P}{UI}}=\cos \varphi _{\mathrm {ekv} }}$,

kde už ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {ekv} }}$ není reálně existující veličina, ale pouhá matematická konstrukce, která vyjadřuje fiktivní fázový posuv mezi tzv. ekvivalentním harmonickým napětím a proudem, které by měly stejné efektivní hodnoty a činný výkon jako analyzované neharmonické průběhy.

I pro neharmonický průběh lze užít komplexní analýzu: periodické napětí a proud se rozloží do komplexního tvaru Fourierovy řady a s využitím jejích koeficientů lze psát

${\displaystyle P=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\mathbf {U_{k}} \mathbf {I_{k}^{*}} }$,

což je výsledek označovaný jako Parsevalův teorém.

• Vladimír Haasz, Miloš Sedláček: Elektrická měření – Přístroje a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1998. ISBN 80-01-01717-6
• Milan Mikulec, Václav Havlíček: Základy teorie elektrických obvodů 1. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1999. ISBN 80-01-01620-X

• Obrázky, zvuky či videa k tématu elektrický výkon na Wikimedia Commons

• Výkon
• Příkon
• Účiník
• Jouleovo teplo
• Watthodina