Iterační metoda

Základní stacionární iterační metody vycházejí ze štěpení příslušné matice soustavy na ${\displaystyle {\displaystyle A=M-N}}$, přičemž matice ${\displaystyle M}$ musí být jednoduše invertovatelná. Novou iteraci přibližného řešení spočítáme z předchozího jako ${\displaystyle \displaystyle x_{k+1}=M^{-1}(Nx_{k}+b)\,.}$ Přesné řešení soustavy je pak pevným bodem tohoto zobrazení.

Metody Krylovových podprostorů jsou projekční metody založené na hledání přibližného řešení v Krylovových podprostorech rostoucí dimenze, tj. ${\displaystyle x_{k}\in x_{0}+{\text{span}}\{r_{0},Ar_{0},\ldots ,A^{k-1}r_{0}\}}$. Jednoznačnost tohoto přibližného řešení ${\displaystyle x_{k}}$ dosáhneme dodatečnými podmínkami na příslušné residuum ${\displaystyle r_{k}=b-Ax_{k}}$. Zpravidla požadujeme buď minimalitu residua v eukleidovské normě, nebo ortogonalitu residua na prostor, ve kterém hledáme aproximaci ${\displaystyle x_{k}}$. Požadujeme-li ortogonalitu residua na prostor, na kterém hledáme přibližné řešení, jedná se o tzv. Galerkinovu metodu.