Hyperkoule

Objem^[ujasnit] n-rozměrné koule je

${\displaystyle V=r^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=r^{n}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$

kde ${\displaystyle \Gamma (x)}$ je funkce gama. Tento zápis lze zjednodušit rozpisem na sudé a liché počty rozměrů. Je-li n liché, potom

${\displaystyle V_{l}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}},}$

a pro sudé n

${\displaystyle V_{s}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}.}$

Povrch n-rozměrné koule je shodný s derivací objemu podle r, tedy

${\displaystyle S=nr^{n-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=nr^{n-1}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}$

Je-li n liché

${\displaystyle S_{l}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}},}$

je-li n sudé

${\displaystyle S_{s}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}.}$

• n-rozměrné koule – s odvozením vztahů