Hladké číslo

Hladké číslo je pojem z teorie čísel. Jako B-hladké se označuje takové celé číslo, že žádný z jeho prvočíselných dělitelů není větší než B.

Například číslo 1620 má prvočíselný rozklad 2² × 3⁴ × 5, je tedy 5hladké, neboť žádný z jeho prvočíselných dělitelů není větší než 5. Jedná se také například o číslo 11hladké nebo 6hladké (na mez B není kladena podmínka, aby byla prvočíselná), ale nejedná se o číslo 4hladké, protože má dělitele 5, který je větší než 4.

Použití

Hladká čísla jsou významná pro běh a analýzu různých algoritmů z teorie čísel. Příkladem jsou Pollardův p-1 algoritmus pro počítání prvočíselného rozkladu nebo Pohligův-Hellmanův algoritmus pro výpočet diskrétního logaritmu.

Rozložení hladkých čísel

Označíme-li $\scriptstyle \Psi (x,y)$ počet yhladkých celých čísel menších nebo rovných x a zvolíme-li B pevné a malé, pak platí následující odhad $\psi (x,B)$

\Psi (x,B)\sim {\frac {1}{\pi (B)!}}\prod _{p\leq B}{\frac {\log x}{\log p}}.

Pokud definujeme parametr $u$ rovností $x=y^{u}$ , tedy $u={\frac {\log x}{\log y}}$ , pak platí

\Psi (x,y)=x\cdot \rho (u)+O\left({\frac {x}{\log y}}\right)

kde $\rho (u)$ je Dickmanova funkce.

Posloupnosti

Pro dané B můžeme uvažovat posloupnost přirozených Bhladkých čísel. Několik takových posloupností pro malá B je zahrnuto v On-line encyklopedii celočíselných posloupností:

2hladká čísla: A000079
3hladká čísla: A003586
5hladká čísla: A051037
7hladká čísla: A002473
11hladká čísla: A51038
13hladká čísla: A80197
17hladká čísla: A80681
19hladká čísla: A80682
23hladká čísla: A80683

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku smooth number na anglické Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.