Grashofovo číslo

Využíváme bilanci energie pro rotačně symetrické proudění. Tato analýza v sobě zahrnuje jak gravitační zrychlení, tak i přenos tepla. Matematické rovnice dále charakterizují jak rotačně symetrické proudění, tak dvourozměrné rovinné proudění.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{o}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{o}^{n})=0}$

kde:

${\displaystyle s}$ je směr rotace, t.j. směr rovnoběžný s povrchem

${\displaystyle u}$ je tangenciální rychlost, t.j. rychlost rovnoběžná s povrchem

${\displaystyle y}$ je vektor roviny, t.j. směr kolmý na povrch

${\displaystyle v}$ je normálová rychlost, t.j. rychlost kolmá na povrch

${\displaystyle r_{o}}$ je poloměr.

V této rovnici horní index n určuje, zda se jedná o rotačně symetrický proudění nebo rovinné proudění.

${\displaystyle n}$ = 1: rotačně symetrické proudění

${\displaystyle n}$ = 0: rovinné, dvoufázové proudění

${\displaystyle g}$ je gravitační zrychlení

Tato rovnice se rozšíří o fyzikální vlastnosti tekutiny:

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$

Kde můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti tím, že položíme rychlost celé tekutiny rovnou 0 (u = 0).

${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{o}g}$

Tento vztah ukazuje, že gradient tlaku je dán pouze rozdílem hustoty kapaliny a gravitačním zrychlením. Dalším krokem je vložení gradientu tlaku do rovnice hybnosti.

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g\beta (T-T_{o})}$

Další zjednodušení rovnice hybnosti dosáhneme dosazením koeficientu objemové roztažnosti místo rozdílu hustot ${\displaystyle \rho _{o}-\rho =\beta \rho (T-T_{o})}$, a vztahem pro kinematickou viskozitu, ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$.

${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g\beta (T-T_{o})}$

Pro zjištění Grashofova čísla musí být výše uvedená rovnice bezrozměrná. To znamená, že žádná proměnná v rovnici nesmí obsahovat rozměr, a namísto toho má obsahovat charakteristické poměry pro uvedený případ. Toho se dosáhne podělením všech proměnných příslušnými konstantními množstvími. Délky jsou poděleny charakteristickou délkou, ${\displaystyle L_{c}}$. Rychlosti jsou poděleny příslušnými referenčními rychlostmi, ${\displaystyle V}$, které berou v úvahu Reynoldsovo číslo ${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$. Teploty jsou poděleny vhodnými rozdíly teplot, ${\displaystyle (T_{s}-T_{o})}$. Tyto bezrozměrné parametry vypadají pak takto:

${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$,

${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$,

${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$,

${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$,

${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{o})}{(T_{s}-T_{o})}}}$.

Hvězdičky představují bezrozměrné parametry. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dostáváme následující zjednodušenou rovnici.

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{o})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

kde:

${\displaystyle T_{s}}$ je povrchová teplota

${\displaystyle T_{o}}$ je teplota kapaliny

${\displaystyle L_{c}}$ je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr v hranaté závorce v předchozí rovnici je Grashofovo číslo:

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{o})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

Další formovou bezrozměrné analýzy, kterou získáme Grashofovo číslo, je známý jako Buckinghamův Pi Teorém. Tato metoda zahrnuje vztlakovou sílu každého objemu ${\displaystyle F_{b}}$ díky rozdílu hustoty v mezní vrstvě a zbytku kapaliny.

${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{o})g}$

Tato rovnice může být upravena:

${\displaystyle F_{b}=\beta g\rho _{o}\Delta T.}$

Seznam použitých proměnných v této metodě je umístěn níže.

Proměnná	Symbol	Rozměr
Charakteristická délka	${\displaystyle L}$	${\displaystyle \mathrm {L} }$
Viskozita tekutiny	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {M}{Lt}} }$
Tepelná kapacita tekutiny	${\displaystyle c_{p}}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{MT}} }$
Tepelná vodivost tekutiny	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{LtT}} }$
Koeficient objemové roztažnosti	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{T}} }$
Gravitační zrychlení	${\displaystyle g}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{t^{2}}} }$
Rozdíl teplot	${\displaystyle \Delta T}$	${\displaystyle \mathrm {T} }$
Součinitel přestupu tepla	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}} }$

S ohledem na Buckinghamův pi teorém existuje 9 – 5 = 4 bezrozměrných skupin. Vybereme-li L, ${\displaystyle \mu ,\lambda }$, g a ${\displaystyle \beta }$ jako referenční proměnné, pak skupiny ${\displaystyle \pi }$ jsou následující:

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}\lambda ^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$,

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}\lambda ^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$,

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}\lambda ^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}\lambda ^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$.

Vyřešením těchto skupin ${\displaystyle \pi }$ dostaneme:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{\lambda }}=Pr}$,

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$,

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {\alpha L}{\lambda }}=Nu}$

Ze dvou skupin ${\displaystyle \pi _{2}}$ a ${\displaystyle \pi _{3},}$ získáme Grashofovo číslo:

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

Použitím ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ a ${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{o})}$ může být předchozí rovnice přepsána na stejný výsledek jako při derivování Grashofova čísla z bilance energie.

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

Při nucené konvekci řídí Reynoldsovo číslo proudění tekutiny, ale při přirozené konvekci tuto funkci zastává Grashofovo číslo.