Gama funkce

Funkce ${\displaystyle \Gamma }$ je spojitá pro ${\displaystyle z>0}$. Funkce ${\displaystyle \Gamma }$ diverguje pro celá ${\displaystyle z\leq 0}$. Tyto body jsou póly prvního řádu a odpovídající rezidua jsou ${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=k,k\in \mathbb {Z} ,k\leq 0}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{-k}}{\Gamma (-k)}}}$. Jiné singularity nemá a jedná se tedy o funkci meromorfní v celém oboru ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Pro n-tou derivaci platí vztah

${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\ln ^{n}t\,\mathrm {d} t}$.

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě ${\displaystyle x\approx 1{,}461\,6}$.

${\displaystyle \Gamma (-2)\,}$	(nedefinováno)
${\displaystyle \Gamma (-3/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (-1)\,}$	(nedefinováno)
${\displaystyle \Gamma (-1/2)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (0)\,}$	(nedefinováno)
${\displaystyle \Gamma (1/2)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (1)\,}$	${\displaystyle =0!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma (3/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (2)\,}$	${\displaystyle =1!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma (5/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (3)\,}$	${\displaystyle =2!=2\,}$
${\displaystyle \Gamma (7/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (4)\,}$	${\displaystyle =3!=6\,}$
${\displaystyle \lim _{z\to 0+}\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$
${\displaystyle \lim _{z\to +\infty }\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$

• 
  Reálná část Γ(z)
• 
  Imaginární část Γ(z)
• 
  Absolutní hodnota Γ(z)
• 
  Absolutní hodnota Γ(z), 3D pohled

• Beta funkce

• Obrázky, zvuky či videa k tématu gama funkce na Wikimedia Commons
• Gama funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Online kalkulátor Gama funkce