Frobeniova matice

Frobeniova matice je v numerické matematice speciální druh čtvercové matice, která splňuje následující tři vlastnosti:

všechny položky na hlavní diagonále jsou jedničky
položky v jednom libovolném sloupci pod hlavní diagonálou jsou libovolné
všechny ostatní položky jsou nulové

Frobeniova matice tady vypadá takto:

A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}

Frobeniovy matice jsou pojmenované po Ferdinandu Georgu Frobeniovi. Někdy se také nazývají Gaussovy transformace po Carlu Friedrichu Gaussovi.[1] Frobeniovy matice se používají při Gaussově eliminační metodě pro reprezentaci gaussovských transformací.

Násobení libovolné matice zleva (levé násobení) Frobeniovou maticí odpovídá přičtení určité lineární kombinace zbývajících řádků k určitému řádku matice. Násobení inverzní maticí odpovídající lineární kombinaci od daného řádku odečte. To odpovídá jedné elementární operaci při gaussovské eliminaci (vedle transpozice řádků a násobení řádku skalárem).

Vlastnosti

Frobeniovy matice jsou invertibilní. Inverzí Frobeniovy matice je opět Frobeniova matice, která se od původní matice liší obrácenými znaménky čísel mimo hlavní diagonálu. Inverzní matice k výše uvedené matici tedy je:

A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}

Tento vzorec lze dokonce zobecnit na jakoukoli mocninu matice. Pro všechna $k\in \mathbb {Z}$ platí:

A^{k}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&k\cdot a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&k\cdot a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}=I+k\cdot (A-I)

Odkazy

Poznámky

Golub a van Loan 1996, s. 95.

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Frobenius matrix na anglické Wikipedii a Frobeniusmatrix na německé Wikipedii.

GOLUB, Gene H.; VAN LOAN, Charles F., 1996. Matrix Computations. 3. vyd. [s.l.]: Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X (vázané), ISBN 0-8018-5414-8 (brožované).

Související články

Elementární matice – speciální případ Frobeniovy matice s jedinou nenulovou hodnotou mimo diagonálu

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[FOOTNOTEGolubvan_Loan199695-1] Golub a van Loan 1996, s. 95.