Fourierova řada

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi. Slouží k zápisu periodického průběhu pomocí funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě řady z funkcí sinus a kosinus je rozklad vektoru do ortogonální báze. Lineárním prostorem je v tomto případě prostor (jistých) funkcí definovaných na intervalu ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ a skalárním součinem je integrál:

${\displaystyle (f,g)=\int _{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)dt}$

S ohledem na tento skalární součin tvoří funkce

${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt,\ \ \ n\in \mathbb {N} }$

ortogonální množinu a pro každou integrovatelnou funkci ${\displaystyle f:\ [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {R} }$ lze najít její souřadnice vůči uvažované ortogonální množině. Souřadnice odpovídající prvku ${\displaystyle e}$ je dána vztahem:

${\displaystyle f_{e}={\frac {(f,e)}{(e,e)}}.}$

Jelikož ${\displaystyle (1,1)=2\pi ,(\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi }$, přiřazujeme funkci ${\displaystyle f}$ její Fourierovu řadu:

${\displaystyle f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)],}$

pro jejíž koeficienty (tzv. Fourierovy koeficienty) platí vzorce:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx}$,

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos {(kx)}dx,\ \ \ k=0,1,2,\dots }$,

${\displaystyle b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin {(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots }$.

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí ${\displaystyle f}$ a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z lepší množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce ${\displaystyle f}$ ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodu) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce f aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.