Fermatův princip

Dobu šíření paprsku lze vyjádřit integrálem

${\displaystyle T=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\rm {{d}t=\int _{A}^{B}{\frac {\rm {{d}s}}{v}}={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n{\rm {{d}s,}}}}}$

kde ${\displaystyle n}$ je index lomu závisející na poloze.

Realizovaná trajektorie paprsku mezi body A a B je tedy dle Fermatova principu ekvivalentně dána extremálou optické dráhy ${\displaystyle l}$, kterou popisuje křivkový integrál prvního druhu

${\displaystyle l=\int _{A}^{B}n{\rm {{d}s}}}$.

Parametrizujeme-li křivku parametrem ${\displaystyle \tau }$ tak, že ${\displaystyle \tau =0}$ odpovídá A a ${\displaystyle \tau =1}$ B, dostáváme vyjádření

${\displaystyle l=\int _{0}^{1}n(x_{1},x_{2},x_{3}){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}{\rm {{d}\tau =\int _{0}^{1}F(x_{j},{\dot {x}}_{j}){\rm {{d}\tau }}}}}$,

kde tečna značí derivaci podle ${\displaystyle \tau }$.

Eulerovy-Lagrangeovy rovnice, které extremála musí splňovat, přitom mají tvar

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {\rm {d}}{\rm {{d}\tau }}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\quad i=1,2,3}$

Po dosazení konkrétního ${\displaystyle F}$ dostáváme:

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial x_{i}}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\frac {\rm {d}}{\rm {{d}\tau }}}\left({\frac {n{\dot {x}}_{i}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\right)\quad i=1,2,3}$

Použijeme-li parametr ${\displaystyle s}$, který parametrizuje křivku pomocí její délky od bodu A, dostáváme vztah

${\displaystyle {\frac {\rm {{d}s}}{\rm {{d}\tau }}}={\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}$.

Po dosazení pak:

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial x_{i}}}{\frac {\rm {{d}s}}{\rm {{d}\tau }}}={\frac {\rm {{d}s}}{\rm {{d}\tau }}}{\frac {\rm {d}}{\rm {{d}s}}}(n{\dot {x}}_{i}{\frac {\rm {{d}\tau }}{\rm {{d}s}}})\quad i=1,2,3}$

Což po úpravě (derivace složené funkce) vede na rovnice

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial x_{i}}}={\frac {\rm {d}}{\rm {{d}s}}}(n{\frac {\rm {{d}x_{i}}}{\rm {{d}s}}})\quad i=1,2,3}$,

které je možno zapsat ve tvaru jedné vektorové rovnice

${\displaystyle \nabla n={\frac {\rm {d}}{\rm {{d}s}}}(n{\frac {\rm {{d}\mathbf {r} }}{\rm {{d}s}}})}$.

Odvozený výraz představuje paprskovou rovnici, která jednoznačně popisuje dráhu paprsku v prostředí, kde index lomu závisí na místě.

• Huygensův princip

• Aplet ilustrující Fermatův princip Archivováno 9. 12. 2008 na Wayback Machine
• Bedřich Havelka: Geometrická optika I