Eulerovský tah

V teorii grafů se termínem eulerovský tah označuje takový tah, který obsahuje každou hranu grafu právě jednou. Zavedl jej Leonhard Euler, když se roku 1736 pokoušel vyřešit slavný problém sedmi mostů města Královce.

Sedm mostů města Královce.

Existuje-li v grafu uzavřený eulerovský tah, nazýváme tento graf rovněž eulerovský. Eulerovské grafy lze nakreslit „jedním tahem“.

Definice

Je-li G = (V, E) neorientovaný graf a $P=(v_{0},e_{1},v_{1},\ldots ,e_{n},v_{m})$ posloupnost, pro kterou platí, že $\left|E\right|=n{\mbox{ a }}\forall i,j=1,\ldots ,n\;,i\neq j\;:e_{i}\neq e_{j}\;$ , nazveme tuto posloupnost eulerovským tahem. Je-li $v_{0}=v_{m}$ , nazveme tento tah uzavřeným.

Pro orientované grafy je nutné pojem tah nahradit pojmem cyklus.

Vlastnosti

neorientovaný graf je eulerovský, je-li souvislý a každý jeho vrchol má sudý stupeň
neorientovaný graf je eulerovský, je-li souvislý a lze jej rozložit na hranově disjunktní cykly
orientovaný graf je eulerovský právě tehdy, je-li souvislý a každý jeho vrchol má vstupní stupeň rovný výstupnímu

Počet eulerovských tahů

V orientovaných grafech lze použitím následujícího vzorce spočítat počet neekvivalentních eulerovských cyklů:

C\prod _{v\in V}(\deg ^{+}(v)-1)!

popřípadě

C\prod _{v\in V}(\deg ^{-}(v)-1)!

kde C je libovolný kofaktor Laplaceovy matice daného grafu.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.