Distribuce (diferenciální geometrie)
V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.
Definice
Mějme diferencovatelnou varietu a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety jako . Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru každému bodu . Toto přiřazení značíme . Neboli
- ,
kde je okolí bodu , je množina (hladkých) vektorových polí na okolí , značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a označuje hodnotu vektorového pole v bodě .
Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.
Přidružené pojmy
Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci . O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod existuje jeho okolí a na něm souřadnice takové, že plochy určené soustavou rovnic
(bráno jako podmnožiny v okolí ) jsou integrální podvariety . Souřadnice pak nazýváme Frobeniova mapa.
Uvažujme opět diferencovatelnou varietu a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci . Dále nechť je n-rozměrná vnořená podvarieta variety , tj. existuje vnoření . Pokud
- ,
kde označuje tečné zobrazení k zobrazení , tak podvarietu nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.
Frobeniova věta o integrabilitě distribucí
Buď k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě . Pokud platí
- ,
tak k existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)
Krátce řečeno, pokud je v involuci, tj. , tak je integrabilní.