Distribuce (diferenciální geometrie)

V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.

Definice

Mějme diferencovatelnou varietu a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety jako . Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru každému bodu . Toto přiřazení značíme . Neboli

,

kde je okolí bodu , je množina (hladkých) vektorových polí na okolí , značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a označuje hodnotu vektorového pole v bodě .

Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.

Přidružené pojmy

Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci . O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod existuje jeho okolí a na něm souřadnice takové, že plochy určené soustavou rovnic

(bráno jako podmnožiny v okolí ) jsou integrální podvariety . Souřadnice pak nazýváme Frobeniova mapa.

Uvažujme opět diferencovatelnou varietu a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci . Dále nechť je n-rozměrná vnořená podvarieta variety , tj. existuje vnoření . Pokud

,

kde označuje tečné zobrazení k zobrazení , tak podvarietu nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.

Frobeniova věta o integrabilitě distribucí

Buď k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě . Pokud platí

,

tak k existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)

Krátce řečeno, pokud je v involuci, tj. , tak je integrabilní.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.