De Rhamův diferenciál

DeRhamův diferenciál je pojem z matematiky, přesněji z pomezí diferenciální geometrie, globální analýzy na varietách a algebraické topologie. Je základním pojmem diferenciální geometrie.

Definice

Nechť je diferencovatelná varieta dimenze a je vektorový prostor vnějších diferenciálních forem na . Pak deRhamův diferenciál je systém zobrazení definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.

Nechť a jsou nějaké souřadnice z atlasu . Pak pro každý multiindex existují hladké funkce , že na U, kde a a DeRhamův diferenciál formy je dán předpisem kde je deRhamův diferenciál funkce (0-formy) . Tento je definován přepisem .

Vlastnosti

nebo obšírněji (diferenciál).

(linearita nad )

(Leibnizovo pravidlo)

Poznámka

Diferenciální formu nazveme uzavřenou, pokud . Diferenciální formu nazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma , že .

Kohomologie komplexu (tzv. de Rhameova komplexu) se nazývají deRhamovy (kohomologické) grupy. Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou deRhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.

Literatura

[1] Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975.

[2] Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998.

[3] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish.

[4] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons.

[5] Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003.

[6] Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.