Collatzův problém

Popsaný postup lze vyjádřit funkcí

${\displaystyle C(n)={\begin{cases}3n+1{\text{,}}&{\text{ je-li }}n{\text{ liché,}}\\n/2{\text{,}}&{\text{ je-li }}n{\text{ sudé.}}\end{cases}}}$

Hodnota ${\displaystyle C(n)}$ pro lichá ${\displaystyle n}$ bude zjevně sudá. Často se tak používá zkrácená varianta a notace modulární aritmetiky

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}(3n+1)/2{\text{,}}&n\equiv 1{\pmod {2}}{\text{,}}\\n/2{\text{,}}&n\equiv 0{\pmod {2}}{\text{.}}\end{cases}}}$

Problém pak lze popsat pomocí iterací těchto funkcí: Je pro libovolné počáteční kladné celé číslo ${\displaystyle n}$ některá ${\displaystyle k}$-tá iterace ${\displaystyle T^{k}(n)}$ rovna jedné? Formálně: ${\displaystyle \forall n\exists k.T^{k}(n)=1}$.

Domněnka zatím nebyla dokázána. Byla ale výpočetně ověřena pro všechna čísla až do velikosti 2⁶⁸.[6][7]

Orbita pro ${\displaystyle n=27}$ má 111 kroků (41 skrze lichá čísla) a vypadá následovně.

Iterace vystoupaly z čísla 27 až na 9232, přesto se nakonec vrátily k číslu 1.

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (Posloupnost A008884 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)

Heuristický argument[8] napovídá, že iterace Collatzovy funkce by v dlouhodobém horizontu neměly růst k nekonečnu, ale měly by se naopak zmenšovat.

Pokud je vstup ${\displaystyle T(n)}$ rovnoměrně rozložený modulo 2, nastávají obě větve ${\displaystyle T(n)}$ stejně často.

Snadno lze ověřit, že jednotlivé iterace funkce se chovají náhodně a nezávisle od iterací minulých. Přesněji, je-li ${\displaystyle n}$ rovnoměrně rozložené modulo 4, pak je ${\displaystyle T(n)}$ rovnoměrně rozložené modulo 2. Pro náhodný vstup tedy nastanou obě větve následující iterace se stejnou pravděpodobností.

Díky tomu lze uvažovat následovně. Pro dostatečně náhodný vstup ${\displaystyle n}$ bude výstup jedné iterace ${\displaystyle T(n)}$ zhruba ${\displaystyle 3n/2}$ v první polovině případů a ${\displaystyle n/2}$ ve druhé polovině případů. Tedy oba případy mají pravděpodobnost 1/2. Přírůstek jedné iterace ${\displaystyle T(n)}$ v ${\displaystyle \log(n)}$ lze tedy vyjádřit jako

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log {\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{2}}<0}$.

A protože přírůstek je záporný, lze očekávat, že iterace se budou v dlouhodobém horizontu zmenšovat.

Následující tabulka ukazuje maximální a průměrné délky trajektorií před dosažením jedničky pro počáteční hodnoty do dané velikosti. U maximální délky je uvedena také odpovídající počáteční hodnota.

hodnoty pod	maximální délka	počáteční hodnota	průměrná délka
${\displaystyle 10^{1}}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 6{,}78}$
${\displaystyle 10^{2}}$	${\displaystyle 118}$	${\displaystyle 97}$	${\displaystyle 31{,}48}$
${\displaystyle 10^{3}}$	${\displaystyle 178}$	${\displaystyle 871}$	${\displaystyle 59{,}49}$
${\displaystyle 10^{4}}$	${\displaystyle 261}$	${\displaystyle 6\,171}$	${\displaystyle 84{,}97}$
${\displaystyle 10^{5}}$	${\displaystyle 350}$	${\displaystyle 77\,031}$	${\displaystyle 107{,}54}$
${\displaystyle 10^{6}}$	${\displaystyle 524}$	${\displaystyle 837\,799}$	${\displaystyle 131{,}43}$
${\displaystyle 10^{7}}$	${\displaystyle 685}$	${\displaystyle 8\,400\,511}$	${\displaystyle 155{,}27}$
${\displaystyle 10^{8}}$	${\displaystyle 949}$	${\displaystyle 63\,728\,127}$	${\displaystyle 179{,}23}$
${\displaystyle 10^{9}}$	${\displaystyle 986}$	${\displaystyle 670\,617\,279}$	${\displaystyle 203{,}23}$
${\displaystyle 10^{10}}$	${\displaystyle 1\,132}$	${\displaystyle 9\,780\,657\,630}$	${\displaystyle 227{,}25}$