Brownův pohyb

Brownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí – difundují do okolí. Celková entropie systému se zvýší.

(To ovšem v žádném případě neznamená, že by difuze přímo vyplývala z Brownova pohybu či naopak.)

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-\xi v+F'(t)}$

kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici): ${\displaystyle F_{f}=\xi v=6\pi \mu rv}$
Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:

${\displaystyle mx_{i}{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}}$

Upravíme (derivace součinu):

${\displaystyle m[{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}-{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}]=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}}$

Střední hodnota:

${\displaystyle m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-m<{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}>=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>+<F'(t)><x_{i}>}$

Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:${\displaystyle <x_{i}>=0}$

Ekvipartiční teorém ve 3D:${\displaystyle 1/2mv^{2}=3/2kT}$ kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota

Po úpravě dostaneme:

${\displaystyle m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-3kT=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>}$

Řešení této diferenciální rovnice je (protože ${\displaystyle <x_{i}{\dot {x}}_{i}>(0)=0}$):

${\displaystyle <x_{i}{\dot {x}}_{i}>={\frac {3kT}{\xi }}(1-\exp(-\xi t/m))}$

Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše:

${\displaystyle 1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<r^{2}(t)>=1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<x_{i}x_{i}>=<x_{i}{\dot {x}}_{i}>}$

Dostaneme:

${\displaystyle <r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}\int (1-\exp(-\xi t/m))\mathrm {d} t={\frac {6kT}{\xi }}[t-m/\xi (1-\exp(-\xi t/m))]}$

Aproximace: ${\displaystyle t\xi /m>>1}$ odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na:

${\displaystyle <r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}t={\frac {kT}{\pi \mu r}}t}$

Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.

Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb, postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní ${\displaystyle 1/2mv^{2}=1/2kT}$, jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:

${\displaystyle <r^{2}(t)>={\frac {2kT}{\xi }}t={\frac {kT}{3\pi \mu r}}t}$