Bernoulliho–Navierova hypotéza

Hypotéza obecně platí pro dostatečně štíhlé pruty, naopak pro prvky, u nichž je výška průřezu řádově podobně velká jako délka, je nutno použít pokročilejší teorie deformace (Mindlin, Timošenko). Platnost je dále omezena na izotropní (či ortotropní) materiály, které jsou lineárně pružné; zároveň musejí být pruty v daném průřezu homogenní (a po délce příliš neměnit svůj průřez). Vzniklá přetvoření na prutu taktéž musejí být malá.

Pokud jsou předešlé podmínky splněny, pro průhyb ${\displaystyle w(x)}$ platí:

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

Druhá derivace průběhu průhybu prutu podle délky ${\displaystyle x}$, vyjádřená jako křivost prutu, je rovna zlomku, kde ${\displaystyle E}$ je Youngův modul pružnosti, ${\displaystyle I}$ je moment setrvačnosti průřezu a ${\displaystyle M}$ je vnitřní ohybový moment.

Pro nosník, který je vyroben z homogenního materiálu po celé své délce a má navíc konstantní průřez, lze za použití Schwedlerovy věty z předchozí rovnice získat závislost průhybu ${\displaystyle w(x)}$ na spojitém zatížení ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=f(x)}$

Základní vzorec pro výpočet normálového napětí od působícího ohybového momentu, který platí díky BN hypotéze, je následující:[1]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{y}\cdot z}{I_{y}}}={\frac {M_{y}}{W_{y}}}}$

Použité veličiny:

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$ normálové napětí v průřezu
• ${\displaystyle M_{y}}$ – ohybový moment kolem neutrální osy
• ${\displaystyle z}$ – kolmá vzdálenost vláken k neutrální ose
• ${\displaystyle I_{y}}$ – moment setrvačnosti k neutrální ose y
• ${\displaystyle W_{y}}$ – průřezový modul k neutrální ose y. ${\displaystyle W_{y}=I_{y}/z}$

U deskových konstrukcí je rozšíření Bernoulliho–Navierovy hypotézy nazýváno jako Kirchhoff–Loveho teorie.