Ohyb

Grafické znázornění zachování rovinnosti průřezu po deformaci

V Bernoulli-Navierově hypotéze (dále jen BN) v teorii ohybu je základním předpokladem splnění rovinnosti průřezu. Jinými slovy musí platit, že průřez, který je rovinný a kolmý na střednici prutu před deformací musí být rovinný a kolmý na střednici i po deformaci. Tento předpoklad tedy zanedbává vznik smykové deformace.

Představme si, že máme nosník z homogenního isotropního materiálu, který je zatížen spojitým zatížením ${\displaystyle q(x)}$. Pokud budeme předpokládat platnost BN hypotézy spolu s předpokladem malých deformací, potom lze podélnou deformaci tohoto prutu popsat diferenciální rovnicí, která nabývá tvaru

${\displaystyle u={\frac {dw}{dx}}z}$,

kde ${\textstyle u}$ je deformace ve směru podélné osy prutu. Pokud se nacházíme v oblasti pružné deformace, potom musí platit tato geometrická rovnice

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {du}{dx}}={\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}z}$

a také samozřejmě fyzikální rovnice dávající do souvislosti poměrnou deformaci a napětí (nazývána též Hookův zákon). Tato rovnice je tvaru

${\displaystyle \sigma _{x}=E\varepsilon _{x}}$

Po dosazení dostáváme

${\displaystyle \sigma _{x}=E{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}z}$

V jednoduchých variantách ohybu se předpokládá, že deformace je způsobena právě ohybovým momentem (zanedbáme kroutící momenty a jiné silové i nesilové účinky), jehož působení po průřezu lze zapsat též diferenciální rovnicí. Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že moment je roven součinu všech normálových sil působících na průřezu a jejich vzdáleností od neutrální osy. Pokud ohyb probíhá v rovině ${\textstyle xz}$, potom platí

${\displaystyle M_{y}=\int _{A}{\sigma _{x}zdA}}$,

kde ${\textstyle A}$ je plocha průřezu kolmého na podélnou osu prutu. Nyní můžeme dvě výše uvedené rovnice dosadit do sebe a spolu s uvážením faktu, že moment setrvačnosti ${\textstyle I_{y}=\int _{A}{z^{2}}}$, musí platit

${\displaystyle M_{y}=EI_{y}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$

kde ${\displaystyle E}$ je Youngův modul pružnosti, ${\displaystyle I}$ je moment setrvačnosti průřezu a ${\displaystyle w(x)}$ je funkce popisující deformaci (posun) neutrální osy nosníku.

Toto je základní diferenciální rovnice ohybu prutu za předpokladu BN hypotézy, též nazývaná rovnice ohybové čáry.

• ŠEJNOHA, J., BITTNAROVÁ, J.: Pružnost a pevnost. 1. vyd. Praha: ČVUT, 1996.

• Bernoulli-Navierova hypotéza
• Tlak
• Tah (pružnost)

• Slovníkové heslo ohyb ve Wikislovníku
• https://web.archive.org/web/20150426184511/http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/