Bayesova věta

Mějme dva náhodné jevy ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$, přičemž ${\displaystyle P(B)\neq 0}$. Potom platí:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},}$ kde

• ${\displaystyle P(A\mid B)}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$ za předpokladu, že nastal jev ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle P(B\mid A)}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle B}$ podmíněná výskytem jevu ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle P(A)}$ a ${\displaystyle P(B)}$ jsou pravděpodobnosti jevů ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$

Mějme náhodné jevy ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B_{j}}$, pro ${\displaystyle j={1,...,k}}$. Nechť jsou jevy ${\displaystyle B_{j}}$ vzájemně neslučitelné pro každé ${\displaystyle j}$ a nechť v každém pokusu nastává právě jeden z nich, takže součet jejich pravděpodobností je roven jedné:

${\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}P(B_{i})=1}}$

Potom platí:

${\displaystyle P(B_{j}\mid A)={\frac {P(A\mid B_{j})\,P(B_{j})}{P(A)}}\!,}$ kde

• ${\displaystyle P(A\mid B_{j})}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$ za předpokladu, že nastal jev ${\displaystyle B_{j}}$
• ${\displaystyle P(B_{j}\mid A)}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle B_{j}}$ za předpokladu, že nastal jev ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle P(A)}$ je pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$

Pro jednoduchost uvažujme pouze dva náhodné jevy. Důkaz Bayesovy věty vychází z definice podmíněné pravděpodobnosti:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},{\text{ pokud }}P(B)\neq 0,}$

kde ${\displaystyle P(A\cap B)}$ je pravděpodobnost průniku jevů ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$. Symetricky:

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ pokud }}P(A)\neq 0.}$

Vyjádřením pravděpodobnosti průniku v obou rovnicích a následným dosazením jedné rovnosti do druhé, získáme výslednou Bayesovu formuli:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}},{\text{ pokud }}P(B)\neq 0.}$ ${\displaystyle \square }$

Nyní si ukažme příklad použití Bayesova pravidla při testování na drogy. Vyjdeme z předpokladů, že test na prokázání drog má senzitivitu 99 % a specificitu 99 %. Test se na první pohled zdá být docela přesný, ale pomocí Bayesovy věty lze ukázat, že netriviální procento testovaných může být nesprávně označeno za uživatele drog. Nechť je v testovaném podniku prevalence 0,5 %, tj. 0,5 % ze zaměstnanců drogy opravdu užívá.

Jaká je pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem drogy opravdu používá?

Označme si uživatele drog jako "A", "N" všechny ostatní. Nechť "+" znamená pozitivní test. Popišme si následující veličiny:

• ${\displaystyle P(A)}$ pravděpodobnost, že osoba je uživatelem drog (prevalence), tj. ${\displaystyle 0.005}$
• ${\displaystyle P(N)}$ pravděpodobnost, že osoba není uživatelem drog; zjistíme pomocí doplňkového jevu, tzn. ${\displaystyle 1-P(D)=0.995}$
• ${\displaystyle P(+\mid A)}$ pravděpodobnost, že test je pozitivní, když je osoba uživatelem drog; jinými slovy sensitivita testu: ${\displaystyle 0.99}$
• ${\displaystyle P(+\mid N)}$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní, i přestože osoba není uživatelem drog; lze interpretovat jako doplněk k specificitě testu: ${\displaystyle 0.01}$
• ${\displaystyle P(+)}$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní.

Pravděpodobnost ${\displaystyle P(+)}$ sice zadanou nemáme, ale lze ji vypočítat dle výše zmíněné formule:

${\displaystyle P(+)=P(+\mid A)\cdot P(A)+P(+\mid N)\cdot P(N)}$

Po dosazení dostáváme výsledek 1,49 %:

${\displaystyle P(+)=0.99\times 0.005+0.001\times 0.995=0.0149.}$

Díky těmto údajům můžeme vypočítat žádanou pravděpodobnost ${\displaystyle P(A\mid +)}$ pomocí Bayesovy věty:

${\displaystyle P(A\mid +)={\frac {P(+\mid A)P(A)}{P(+)}}={\frac {0.99\times 0.005}{0.0149}}=0.3322.}$

Všimněme si, že i přes vysokou specificitu a senzitivitu je výsledek testu poměrně nepřesný. U zaměstnance podniku s pozitivním testem je jen 33% pravděpodobnost, že je skutečně uživatelem drog.

Senzitivita testu (alt. citlivost testu) nám udává úspěšnost, s níž test zachytí přítomnost sledovaného stavu (nemoci)[6] u daného subjektu. V našem příkladu to znamená, že test správně identifikuje skutečné uživatele drog v 99 % případů.

Specificita testu nám vyjadřuje úspěšnost, s níž test určí případy, u nichž zkoumaný stav (nemoc) nenastává. 99% specificita testu znamená, že test s 99% pravděpodobností správně vyloučí osobu, která drogy nepoužívá.

• Bayesovská statistika
• Bayesovské hry

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bayesova věta na Wikimedia Commons