Šťastné číslo

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

7² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

1² + 6² + 6² + 3² = 82

8² + 2² = 68

6² + 8² = 100

1² + 0² + 0² = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

1² + 3² = 10

1² + 0² = 1

Když ${\displaystyle n}$ není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pokud ${\displaystyle n}$ má ${\displaystyle m}$ číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše ${\displaystyle 81m}$ (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).
Pro ${\displaystyle m=4}$ a více je

${\displaystyle n\geq 10^{m-1}>81m}$

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

• V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
• V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
• V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.

U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru ${\displaystyle 10^{n}+3}$ a ${\displaystyle 10^{n}+9}$ pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

• Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.
• První číslicí je vždy 1.
• Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.
• Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
  • Posloupnost při přidání 3 je: 1² + 3² = 10 → 1² = 1
  • Posloupnost při přidání 9 je: 1² + 9² = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247×10⁷⁵⁰⁰⁰ + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají ${\displaystyle 1^{2}+7^{2}+4^{2}+2^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}+7^{2}+1^{2}=176}$, což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například ${\displaystyle 100_{2}}$ představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla

${\displaystyle 1_{b},10_{b},100_{b},1000_{b},...}$

jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu ${\displaystyle b}$.

Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě ${\displaystyle b}$ vede k zacyklení v číslech menších než ${\displaystyle 1000_{b}}$. Využije se to, že když ${\displaystyle n<1000_{b}}$, pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla ${\displaystyle n}$ v soustavě ${\displaystyle b}$ je menší nebo roven

${\displaystyle 3(b-1)^{2}}$.

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než ${\displaystyle b^{3}=1000_{b}}$. Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než ${\displaystyle 1000_{b}}$, zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než ${\displaystyle 1000_{b}}$ je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 1000₂ jsou totiž šťastná:

${\displaystyle 111_{2}\rightarrow 11_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1}$

${\displaystyle 110_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1}$

${\displaystyle 101_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1}$

${\displaystyle 100_{2}\rightarrow 1.}$

Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.