Úplná prostorová náhodnost

Data v podobě sady bodů, nepravidelně rozmístěných v dané oblasti, se vyskytují v mnoha různých kontextech; například jako umístění stromů v lese, ptačích hnízd, jader v tkáni nebo poloha nemocných lidí. Jakýkoliv takový souboru dat nazýváme prostorový bodový model a odkazujeme jím na umístění jako na události, k odlišení od jakýchkoli jiných bodů příslušné oblasti. Hypotéza úplné prostorové náhodnosti prostorového bodového modelu tvrdí, že počet událostí jakékoli oblasti je dán Poissonovým rozdělením o daném průměru při jednotném rozdělení. Události modelu jsou nezávisle a rovnoměrně rozložené v prostoru. Jinými slovy, pro jednotlivé události je stejně pravděpodobné, že se vyskytnou kdekoli a bez vzájemných interakcí.

"Rovnoměrný" se používá ve smyslu stejnoměrného rozdělení pravděpodobnosti v celé studované oblasti, nikoli ve smyslu "rovnoměrného" rozptýlení ve sledované oblasti.[2] Mezi událostmi nedochází k žádným interakcím, jelikož intenzita událostí v rovině se nemění. Předpoklad nezávislosti by byl porušen například v případě, že by existence jedné události buď podnítila, nebo potlačila výskyt jiných událostí v okolí.

Pravděpodobnost nalezení právě ${\displaystyle k}$ bodů v oblasti ${\displaystyle V}$ s hustotou jevu ${\displaystyle \rho }$ je tedy:

${\displaystyle P(k,\rho ,V)={\frac {(V\rho )^{k}e^{-(V\rho )}}{k!}}.\,\!}$

Prvním momentem, kterým je průměrný počet bodů v této oblasti, je ${\displaystyle \rho V}$. Tato hodnota je intuitivní, tak jako Poissonův parametr.

Pravděpodobnost s jakou se v určité radiální vzdálenosti ${\displaystyle r}$ nachází ${\displaystyle N}$-tý soused daného bodu, je:

${\displaystyle P_{N}(r)={\frac {D}{(N-1)!}}{\lambda }^{N}r^{DN-1}e^{-\lambda r^{D}},}$

kde ${\displaystyle D}$ je počet rozměrů, ${\displaystyle \lambda }$ je intenzita daná vztahem ${\displaystyle \lambda ={\frac {\rho \pi ^{\frac {D}{2}}}{\Gamma ({\frac {D}{2}}+1)}}}$ a ${\displaystyle \Gamma }$ je gama funkce, která je faktoriální funkcí, jestliže je jeho argumentem integrál.

Předpokládanou hodnotu ${\displaystyle P_{N}(r)}$ je možné odvodit pomocí funkce gama, využívající statistické momenty. Prvním momentem je průměrná vzdálenost náhodně rozmístěných bodů v ${\displaystyle D}$ rozměrech.

Studie CSR je nezbytná pro porovnávání naměřených bodových dat z výzkumných zdrojů. Jako statistická testovací metoda, má testování CSR mnoho aplikací v oblasti společenských věd a v astronomických výzkumech.[3] CSR je standard, na kterému jsou často testovány datové soubory. Zde je zhruba popsán jeden z přístupů testování hypotézy CSR:[4]

1. Použijte statistiky, které jsou funkcí vzdálenosti každé události od další nejbližší události.
2. Nejdříve se zaměřte na konkrétní událost a zformulujte metodu testování, zda jsou si událost a další nejbližší událost významně blízké (nebo vzdálené).
3. Poté vezměte v úvahu všechny události a zformulujte metodu testování, zda je průměrná vzdálenost každé události od další nejbližší události významně krátká (nebo dlouhá).

V případech, kdy je výpočet statistik analyticky obtížný, jsou numerické metody, jako je metoda Monte Carlo, použity k simulaci náhodného procesu s velkým počtem opakování.[4]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complete spatial randomness na anglické Wikipedii.

• DIGGLE, P. J. Statistical Analysis of Spatial Point Patterns. 2nd. vyd. New York: Academic Press, 2003. ISBN 0340740701. (anglicky)Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

• Improvement of Inter-event Distance Tests of Randomness in Spatial Point Processes^{[nedostupný zdroj]}