Základná veta algebry

Základná veta algebry tvrdí, že každý polynóm stupňa aspoň prvého s komplexnými koeficientami má v telese komplexných čísel aspoň jeden koreň.

Formálne: Nech

${\displaystyle p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

kde koeficientya₀, ..., a_n−1 sú reálne alebo komplexné čísla, potom existuje ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ také, že ${\displaystyle p(\lambda )=0\,\!}$. Pomocou vety o delení polynómov z toho triviálne vyplýva nasledujúca ekvivalentné tvrdenie: potom existujú (nie nutne rozličné) komplexné čísla z₁, ..., z_n také, že

${\displaystyle p(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).}$ a teda každý polynóm nad ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sa úplne rozkladá na lineárne činitele nad ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Toto ukazuje, že pole komplexných čísel je na rozdiel od poľa reálnych čísel algebraicky uzavreté. Dôsledkom je, že súčin všetkých koreňov sa rovná (−1)ⁿ a₀ a súčet všetkých koreňov sa rovná -a_n−1.