Vytvárajúca funkcia

Vytvárajúca funkcia alebo generujúca funkcia je v matematike formálny mocninový rad o jednej premennej, ktorého koeficienty obsahujú informáciu o danej postupnosti čísel. Formálnosť mocninového radu znamená, že sa s ním narába ako s čisto algebraickým objektom a neštudujú sa jeho analytické vlastnosti ako napríklad polomer konvergencie a pod.[1] Metóda vytvárajúcich funkcií býva často považovaná za najsilnejšiu metódu manipulácie s číselnými postupnosťami. [2]

Súvis medzi operáciami na postupnostiach a operáciami na ich vytvárajúcich funkciách sa využíva predovšetkým na riešenie rekurentných vzťahov, čo má dôležité aplikácie pri enumerácii diskrétnych štruktúr.[3] Myšlienka použitia formálnych mocninových radov na riešenie rekurentných vzťahov siaha k Abrahamovi de Moivrovi, ktorý túto metódu použil na zistenie uzavretého tvaru pre Fibonacciho čísla.[4]

Podľa spôsobu konštrukcie formálneho mocninového radu k danej postupnosti je možné rozlíšiť viacero typov vytvárajúcich funkcií. Medzi najznámejšie patria obyčajné vytvárajúce funkcie, exponenciálne vytvárajúce funkcie, Poissonove vytvárajúce funkcie, Lambertove vytvárajúce funkcie a Dirichletove vytvárajúce funkcie. Teóriu je možné z postupností rozšíriť aj na viacrozmerné štruktúry, v takom prípade nie je vytvárajúca funkcia formálnym mocninovým radom o jednej premennej, ale o toľko premenných, aká je dimenzia danej štruktúry.

Definície

Obyčajná vytvárajúca funkcia

Nech $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},\ldots )$ je číselná postupnosť. Obyčajná vytvárajúca funkcia k postupnosti $a_{n}$ je formálny mocninový rad

G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.

Exponenciálna vytvárajúca funkcia

Nech $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},\ldots )$ je číselná postupnosť. Exponenciálna vytvárajúca funkcia k postupnosti $a_{n}$ je formálny mocninový rad

\operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.

Názov exponenciálna vytvárajúca funkcia pochádza zo skutočnosti, že pre Taylorov rad exponenciálnej funkcie $e^{x}$ platí

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.

Poissonova vytvárajúca funkcia

Nech $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},\ldots )$ je číselná postupnosť. Poissonova vytvárajúca funkcia k postupnosti $a_{n}$ je formálny mocninový rad

\operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x)\,.

Lambertova vytvárajúca funkcia

Nech $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }=(a_{1},a_{2},\ldots )$ je číselná postupnosť. Lambertova vytvárajúca funkcia k postupnosti $a_{n}$ je formálny mocninový rad

\operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.

Prítomnosť výrazu $1-x^{n}$ v menovateli člena vytvárajúcej funkcie implikuje nutnosť indexovať postupnosť od čísla 1, nie od čísla 0.

Dirichletova vytvárajúca funkcia

Nech $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }=(a_{1},a_{2},\ldots )$ je číselná postupnosť. Dirichletova vytvárajúca funkcia k postupnosti $a_{n}$ je formálny mocninový rad

\operatorname {DG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{x}}}.

Opäť je nutné indexovať postupnosť od čísla 1, čo spôsobila prítomnosť člena $n^{x}$ v menovateli vytvárajúcej funkcie.

Zdroje

Wilf, H. S.: Generatingfunctionology. Academic Press, 1994.
Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1990.
Matoušek, J., Nešetřil, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Karolinum, 2007.
Knuth, D. E.: The Art of Computer Programming, vol. I: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, 1997.

Externé odkazy

Generujúce funkcie - Cut The Knot (po anglicky).
Generujúce funkcie - Wolfram MathWorld (po anglicky).
1031 vytvárajúcich funkcií (po francúzsky).
Stiahnutie knihy Genratingfunctionology (po anglicky).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Wilf, H. S.: Generatingfunctionology. Academic Press, 1994.

[2] Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1990.

[3] Matoušek, J., Nešetřil, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Karolinum, 2007.

[4] Knuth, D. E.: The Art of Computer Programming, vol. I: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, 1997.