Vedenie tepla

Ustálené vedenie tepla je možné demonštrovať napr. na tyči dĺžky ${\displaystyle d}$, ktorej jeden koniec je udržiavaný na teplote ${\displaystyle t_{1}}$ a druhý koniec je udržiavaný na teplote ${\displaystyle t_{2}}$. Teplotný rozdiel ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ je teda stály, teplota klesá rovnomerne od teplejšieho konca k chladnejšiemu. Podiel ${\displaystyle {\frac {t_{2}-t_{1}}{d}}}$ sa nazýva teplotný spád (teplotný gradient).

Množstvo tepla ${\displaystyle Q}$, ktoré za týchto podmienok prejde ľubovoľným kolmým prierezom ${\displaystyle S}$ tyče za dobu ${\displaystyle \tau }$, je rovný

${\displaystyle Q=\lambda S{\frac {t_{2}-t_{1}}{d}}\tau }$

Konštanta úmernosti ${\displaystyle \lambda }$ je súčiniteľ tepelnej vodivosti (tepelná vodivosť).

Teplo prechádzajúce plochou určuje tzv. tepelný tok. Množstvo tepla ${\displaystyle Q}$, ktoré prejde plochou ${\displaystyle S}$ za čas ${\displaystyle \tau }$ sa označuje ako hustota tepelného toku

${\displaystyle q={\frac {Q}{\tau S}}}$

Podľa predchádzajúcich vzťahov teda pri ustálenom stave platí

${\displaystyle q=\lambda {\frac {t_{2}-t_{1}}{d}}}$

Ak hrúbku vrstvy (teda dĺžku tyče) ${\displaystyle d}$ zmenšujeme na ${\displaystyle \mathrm {d} x}$, zmení sa na tejto tenkej vrstve teplota o ${\displaystyle -\mathrm {d} t}$. Vzťah pre hustotu tepelného toku môžeme teda prepísať

${\displaystyle q=-\lambda {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}}$

Teplotný gradient ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}}$ sa však môže meniť nielen v smere osi ${\displaystyle x}$, ale tiež v ostatných smeroch. Ide teda o vektorovú veličinu, čo je možné s pomocou operátora gradientu vyjadriť ako

${\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \cdot \,\operatorname {grad} \,t}$

Z tohto vzťahu je vidieť, že priebeh teploty v rovinnej doske je pri ustálenom prúdení tepla lineárna funkcia. Predchádzajúce vzťahy je možné využiť pri riešení problému prechodu tepla rozhraním. Tento vzťah býva tiež označovaný ako Fourierov zákon.

Pokiaľ sa teleso (napr. doska), ktorým teplo prestupuje skladá z ${\displaystyle n}$ vrstiev s rôznou tepelnou vodivosťou ${\displaystyle \lambda _{q}}$ a hrúbke ${\displaystyle d_{q}}$ pre ${\displaystyle q}$-tú vrstvu, potom za ustáleného stavu je hustota tepelného prúdu vo všetkých vrstvách rovnaká, tzn.

${\displaystyle q={\frac {\lambda _{1}}{d_{1}}}(t_{1}-t_{2})={\frac {\lambda _{2}}{d_{2}}}(t_{2}-t_{3})=\cdots ={\frac {\lambda _{n}}{d_{n}}}(t_{n}-t_{n+1})}$

Pre celkový rozdiel teplôt potom dostaneme

${\displaystyle t_{1}-t_{n+1}=(t_{1}-t_{2})+(t_{2}-t_{3})+\cdots +(t_{n}-t_{n+1})=q{\frac {d_{1}}{\lambda _{1}}}+q{\frac {d_{2}}{\lambda _{2}}}+\cdots +q{\frac {d_{n}}{\lambda _{n}}}=q\sum _{k=1}^{n}{\frac {d_{k}}{\lambda _{k}}}}$

Hustotu tepelného toku takouto doskou je možné vyjadriť ako

${\displaystyle q={\frac {t_{1}-t_{n+1}}{\sum _{k=1}^{n}{\frac {d_{k}}{\lambda _{k}}}}}}$

Podiel ${\displaystyle {\frac {d_{k}}{\lambda _{k}}}}$ sa nazýva merný tepelný odpor vrstvy.

Pri neustálenom vedení tepla dochádza k zmene teploty v jednotlivých častiach telesa.

Uvažujme prípad vedenia tepla doskou, ktoré nastane pri náhlom zvýšení teploty na jednom z povrchov dosky. Pokiaľ dosku rozdelíme na vrstvy o hrúbke ${\displaystyle \Delta x}$, nebude hustota tepelného toku vo všetkých vrstvách rovnaká ako pri ustálenom vedení tepla. Dôvodom je to, že časť tepla, ktoré do vrstvy vstúpi sa spotrebuje na ohriatie vrstvy. O túto časť tepla je potom tok v nasledujúcej vrstve ochudobnený.

Nech teda do vrstvy o hrúbke ${\displaystyle \Delta x}$ a ploche ${\displaystyle S}$ vstúpi za čas ${\displaystyle \Delta \tau }$ teplo ${\displaystyle Q_{1}=q_{1}S\Delta \tau }$ a z rovnakej vrstvy vystúpi za rovnaký čas teplo ${\displaystyle Q_{2}=q_{2}S\Delta \tau }$, kde ${\displaystyle q_{1}}$ a ${\displaystyle q_{2}}$ sú hustoty tepelného toku na vstupnej a výstupnej ploche. Teplota vrstvy sa teda zvýši o teplo, ktoré je rozdielom týchto teplôt, tzn.

${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}=(q_{1}-q_{2})S\Delta \tau =-\Delta qS\Delta \tau }$

Pokiaľ je merná tepelná kapacita vrstvy ${\displaystyle c}$ a jej hmotnosť je ${\displaystyle \Delta m=\rho S\Delta x}$, kde ${\displaystyle \rho }$ je hustota vrstvy, potom platí

${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}=c\Delta m\Delta t}$

Z predchádzajúcich vzťahov potom dostaneme

${\displaystyle -\Delta q\Delta \tau =c\rho \Delta x\Delta t}$

Deriváciou vzťahu ${\displaystyle q=-\lambda {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}}$ získame

${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial x}}=-\lambda {\frac {\partial ^{2}t}{\partial x^{2}}}}$

Pre časovú zmenu strednej teploty vrstvy dostaneme z týchto vzťahov (v limite pre ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ a ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$) získame výraz

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial \tau }}={\frac {\lambda }{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}t}{\partial x^{2}}}}$

Tento vzťah predstavuje jednorozmernú diferenciálnu rovnicu vedenia tepla. Túto rovnicu je možné jednoducho zovšeobecniť na trojrozmerný prípad

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial \tau }}={\frac {\lambda }{c\rho }}\left({\frac {\partial ^{2}t}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}t}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}t}{\partial z^{2}}}\right)}$

Pre zjednodušenie sa zavádza veličina

${\displaystyle a={\frac {\lambda }{c\rho }}}$,

ktorá je označovaná ako teplotná vodivosť (súčiniteľ teplotnej vodivosti). Táto veličina ukazuje, ako látka vedie teplo, tzn. ako ľahko sa v nej vyrovnávajú teplotné rozdiely.