Kinetická energia

Pri rýchlostiach, ktoré sú veľmi malé v porovnaní s rýchlosťou svetla platí jednoduchý vzťah

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}.}$

Ak na výpočet použijeme hodnotu hybnosti p, kde ${\displaystyle p=mv}$, dostaneme výraz

${\displaystyle E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$

Pri rýchlostiach porovnateľných s rýchlosťou svetla je potrebné použiť vzťah zodpovedajúci špeciálnej teórii relativity, ktorý má tvar

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}=\left({{1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1}\right)m_{0}c^{2},}$

kde ${\displaystyle m_{0}}$ je pokojová hmotnosť telesa a c je rýchlosť svetla vo vákuu. Tento vzorec sa dá pomocou Taylorovho rozvoja prepísať do tvaru nekonečného radu

${\displaystyle E_{k}={1 \over 2}m_{0}v^{2}+{3 \over 8}m_{0}\left({v^{4} \over c^{2}}\right)+{5 \over 16}m_{0}\left({v^{6} \over c^{4}}\right)+\dots ,}$

z ktorého vidieť, že pri rýchlostiach oveľa menších ako c je významný iba prvý člen a platí newtonovský vzorec. Ďalšie členy začínajú byť podstatné zhruba od rýchlosti 0,3c (vtedy predstavujú opravu s veľkosťou 10% ku klasickému vzťahu).

Doteraz sme sa zaoberali posuvným pohybom. Pri ňom má každý bod telesa rovnakú rýchlosť v. Podobne ako potrebujeme dodať energiu telesu na to, aby sa začalo pohybovať určitou rýchlosťou však potrebujeme dodať energiu aj vtedy, keď chceme teleso roztočiť uhlovou rýchlosťou ${\displaystyle \omega }$. Preto je okrem kinetickej energie posuvného pohybu potrebná aj kinetická energia rotačného pohybu. Jej veľkosť vypočítame pomocou vzťahu

${\displaystyle E_{k}=1/2\,I\omega ^{2},}$

kde ${\displaystyle \omega }$ je uhlová rýchlosť otáčania a I je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os, okolo ktorej sa teleso otáča.

Kinetická energia rotačného pohybu v skutočnosti nie je nič iné ako súčet kinetických energií všetkých častí, na ktoré si môžeme v mysli teleso rozdeliť. Keďže sú vzdialenosti bodov telesa od osi otáčania rôzne, sú rôzne aj ich rýchlosti, tieto sa počítajú podľa základného vzťahu pre obvodovú rýchlosť

${\displaystyle v=\omega r,}$

kde r je vzdialenosť od osi otáčania. Časti telesa s veľkou rýchlosťou prispievajú k celkovej pohybovej energii viac ako časti s malou rýchlosťou. Ak rozdelíme otáčajúce sa teleso na malé časti s hmotnosťami ${\displaystyle m_{i}}$ s rýchlosťami ${\displaystyle v_{i}}$, potom celková kinetická energia je súčet všetkých kinetických energii jednotlivých častí:

${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\omega ^{2}r_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}=1/2\,I\omega ^{2},}$

kde ${\displaystyle I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$ je moment zotrvačnosti telesa. Výpočet momentu zotrvačnosti telesa preto môže byť komplikovaný a zvyčajne vyžaduje integrálny výpočet.

Kinetická energia telies (sústav hmotných bodov) sa rovná súčtu kinetických energií jednotlivých častí sústavy. Doteraz sme sa zaoberali viditeľnými (makroskopickými) pohybmi a zadefinovali sme kinetickú energiu posuvného i otáčavého pohybu.

Telesá okolo nás (plyny, kvapaliny i pevné látky) sa však skladajú z atómov a molekúl, ktoré vykonávajú neusporiadaný náhodný pohyb. Tento pohyb nie je priamo pozorovateľný, prislúcha mu však nejaká hodnota energie, ktorú získame ak sčítame kinetickú energiu všetkých pohybujúcich sa atómov a molekúl. Túto energiu potom nazývame vnútorná energia telesa a zvyčajne označujeme U. Jej jednotkou je rovnako ako pri ostatných druhoch energie Joule.

Keďže s rastúcou teplotou rýchlosť neusporiadaného pohybu častíc telesa rastie, rastie s teplotou aj vnútorná energia. Pri bežných teplotách je medzi vnútornou energiou a teplotou priama úmernosť

${\displaystyle U=CT,}$

pričom T je teplota telesa a C je jeho tepelná kapacita.

Pre jednoatómové plyny prislúcha pohybu v x-ovom, y-ovom a z-ovom smere zakaždým jeden stupeň voľnosti. Podľa ekvipartičného teorému pripadá na každý stupeň voľnosti v priemere energia ${\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{B}T}$, dokopy teda ${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{B}T}$. Rýchlosť, pri ktorej je kinetická energia častice plynu rovná ${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{B}T}$, je stredná kvadratická rýchlosť.